[рис.] а)  Проекция точки M на плоскость $A_1B_1C_1$   — это середина ребра $A_1D_1$ Поэтому проекция прямой MT на плоскость $A_1B_1C_1$ параллельна прямой $B_1D_1$ по теореме о средней линии. Значит, она перпендикулярна прямой $A_1C_1$ тогда по теореме о трех перпендикулярах и прямая MT перпендикулярна прямой $A_1C_1$
б)  Пусть P  — середина ребра $B_1C_1$ а Q  — середина ребра $AA_1$ Заметим, что PMQT  — трапеция, поскольку $QT\parallel B_1A\parallel PM$

Получаем:

$TQ=QM=PT= $\frac{1}{2}$ B_1A= $\frac{1}{2}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента AB= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} =2$

[рис.]
Заметим, что $MP=4$ Продлим прямые MQ и PT и обозначим точку их пересечения $N$ В треугольнике MNP $QT||MP$ $QT= $\frac{1}{2}$ MP$ значит, QT является средней линией, и T  — середина $NP$ Треугольник MNP правильный. MT  — медиана и высота. Значит, PT  — перпендикуляр к MT и искомое расстояние = $PT=2$

Ответ: 2.