[рис.] а)  Введём обозначения, как показано на рисунке. CE  — перпендикуляр к плоскости $ABA_1$ поэтому, по определению, CE перпендикулярен всем прямым в этой плоскости, в том числе и прямой $B_1E$
б)  По определению, угол между прямой и плоскостью  — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. $B_1E$   — проекция прямой $B_1C$ на плоскость $AA_1B_1$ следовательно, угол $CB_1E$   — угол между наклонной $CB_1$ и плоскостью $AA_1B_1$ значит, этот угол равен 30°. Из прямоугольного треугольника ABC:

$BC=AC \text{tg} \angle BAC=10 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} =10$

Углы BAC и BCE равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника BEC находим:

$BE=BC \sin \angle BCE=10 \cdot $\frac{1}{2}$ =5,CE=BC \cos \angle BCE=10 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $BE=BC \sin \angle BCE=10 \cdot $\frac{1}{2}$ =5,CE=$
$=BC \cos \angle BCE=10 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Обозначим искомое расстояние $x$ Из прямоугольного треугольника $BB_1C$ по теореме Пифагора: $CB_1= $\sqrt{аргумента: x ^2 + 100}$ аргумента$ Из прямоугольного треугольника $BB_1E$ по теореме Пифагора: $B_1E= $\sqrt{аргумента: x ^2 + 25}$ аргумента$ Применим теорему \cos ов для треугольника $B_1CE$ : $EC ^2 =CB_1 ^2 + B_1E ^2 - 2 \cdot B_1E \cdot CB_1 \cos \angle CB_1E$ тогда

$75=x ^2 + 100 + x ^2 + 25 - 2 $\sqrt{аргумента: x ^2 + 100}$ аргумента $\sqrt{аргумента: x ^2 + 25}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 3 ( x ^2 + 100 ) ( x ^2 + 25 )}$ аргумента =2x ^2 + 50 = сильно 3 ( x в степени 4 + 125x ^2 + 2500 ) =4x в степени 4 + 200x ^2 + 2500 = сильно$ $ = сильно $\sqrt{аргумента: 3 ( x ^2 + 100 ) ( x ^2 + 25 )}$ аргумента =2x ^2 + 50 = сильно$
$ = сильно 3 ( x в степени 4 + 125x ^2 + 2500 ) =4x в степени 4 + 200x ^2 + 2500 = сильно$
$ = сильно x в степени 4 - 175x ^2 - 5000=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x ^2 =200, новая строка x ^2 = - 25 \end{array} \right. = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента , новая строка x= - 10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента . \end{array} \right.$

По смыслу задачи подходит только корень $10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Ответ: $10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Примечание.
Можно заметить, что треугольник B1EC прямоугольный: прямая CE перпендикулярна BЕ, BЕ  — проекция наклонной B1Е, тогда по теореме о трёх перпендикулярах CE перпендикулярна наклонной B1Е. Далее: гипотенуза вдвое больше катета, лежащего напротив угла 30°: $B_1C=2CE=10 \sqrt{3}$ Искомую высоту призмы находим по гипотенузе и катету из прямоугольного треугольника B1ВC: $B_1B= $\sqrt{аргумента: B_1C ^2 - BC ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 200}$ аргумента$