а)  Точка O принадлежит отрезку BN, значит, точка P, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SBN. Значит, прямая NP также лежит в плоскости SBN и пересекает прямую SB в точке K. Треугольник SNB = бедренный, поскольку отрезки SN и BN  — медианы одинаковых = сторонних треугольников SAC и BAC. Поэтому SN  =  BN. В точке O пересекаются медианы основания, значит, $ON= $\frac{1}{3}$ BN= $\frac{1}{3}$ SN$ Опустим перпендикуляр из точки P на сторону SN. Пусть он пересекает SN в точке M. Треугольники SPM и SNO подобны, поэтому $\frac{SP}{PM} = $\frac{SN}{ON}$ = 3$ Значит, $PM= $\frac{1}{3}$ SP=PO$ Следовательно, треугольники NPO и NPM равны и PN  — биссектриса угла SNB. В = бедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой. Значит, NK ⊥ BS.

[рис.]
[рис.]

б)  Так как BS перпендикулярно NK, то искомое расстояние = длине отрезка BK. NK является медианой треугольника SNB, поэтому $BK= $\frac{1}{2}$ BS=2$

Ответ: 2.

Приведем решение а) Ивана Иванова из Владивостока.
Данная треугольная пирамида правильная, поэтому точки B, S, N, O и P лежат в одной плоскости. Значит, прямая PN пересекает ребро BS в некоторой точке K. Рассмотрим треугольник BSO и прямую KN, пересекающую сторону SO этого треугольника в точке P. По теореме Менелая: $\frac{BN}{NO} \cdot $\frac{OP}{SP}$ \cdot $\frac{SK}{BK}$ = 1$ Поскольку BN : NO  =  3 (по теореме о точке пересечения медиан), а $\frac{OP}{SP} = \frac{1}{3}$ (по условию), заключаем, что $\frac{SK}{BK} = 1$ то есть $SK=BK$ Значит, отрезок NK  — медиана треугольника BNS. Этот треугольник является = бедренным, поскольку BN  =  SN как соответственные медианы равных треугольников. Следовательно, отрезок NK является также и высотой треугольника BNS. Точки N, P и K лежат на одной прямой, а потому прямая NP перпендикулярна прямой BS.

Приведем еще одно решение пункта а).
Пусть a  — длина ребра пирамиды. Тогда

$BN= \frac{a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
$NO = $\frac{1}{3}$ BN= \frac{a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{6}$
$BO= $\frac{2}{3}$ BN= \frac{a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$

$SO= $\sqrt{аргумента: SB ^2 - BO ^2}$ аргумента = \frac{a $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{3}$
$PO= $\frac{1}{4}$ SO= \frac{a $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{12}$

Точка O принадлежит отрезку BN, значит, точка P, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SBN. Поэтому прямая NP также лежит в плоскости SBN и пересекает прямую SB в точке K. Из треугольника NOP получим $\text{tg} ONP= $\frac{OP}{ON}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$ Из треугольника SOB получим $\ctg OBS= $\frac{OB}{OS}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$ Тогда в треугольнике KNB

$\text{tg} KNB= \text{tg} ONP=\ctg OBS= \ctg KBN$

следовательно, $\angle KNB + \angle KBN=90 ^{\circ}$ Тогда угол NKB равен 90°, то есть прямые NP и BS перпендикулярны.