[рис.] а)  В ромбе диагонали перпендикулярны, поэтому $AC\perp BD$ AC является проекцией $AC_1$ на плоскость ABCD, поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, $AC_1\perp BD$

б)  Опустим из точки A перпендикуляр AE на прямую $C_1D_1$ и проведем в плоскости грани $CDD_1C_1$ прямую EF, параллельную прямой $D_1D$ $D_1D\bot ( ACD )$ поэтому и $EF\bot ( ACD )$ а значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость ABC. Поскольку $D_1C_1\parallel DC$ то $AE\bot CD$ а следовательно, и $AF\bot CD$ согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:
1)  из $\Delta ADF$ : $AF=AD \sin \angle ADF=4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin 60 ^{\circ} =6$
2)  из $\Delta AEF$ : $AE= $\sqrt{аргумента: AF}$ аргумента ^2 + EF ^2 =10$

Ответ: 10.