Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна $2 \sqrt{3}$ Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
б) Найдите площадь сечения.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Пусть треугольник МАВ — искомое сечение, перпендикулярное образующей МК, и пусть Т — точка его пересечения с диаметром, проходящим через точку К. В треугольнике МТК угол К равен 30°. Следовательно, $MT=2, TK=4$
В треугольнике МТВ образующая конуса $MB=2 \sqrt{3}$
$AB=2TB=2 \sqrt{аргумента: ( 2 $\sqrt{3}$ ) ^2 - 2 ^2} аргумента =4 \sqrt{2}$
$AM ^2 + BM ^2 =2 \cdot ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 =24 меньше 32= ( 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 =AB ^2$
Следовательно, $\angle AMB больше 90 ^{\circ}$
б) Площадь треугольника MBA равна
$S_MBA= $\frac{1}{2}$ \cdot AB \cdot MT= $\frac{1}{2}$ \cdot 4 $\sqrt{2}$ \cdot 2=4 \sqrt{2}$
Ответ: б) $4 \sqrt{2}$
В треугольнике МТВ образующая конуса $MB=2 \sqrt{3}$
$AB=2TB=2 \sqrt{аргумента: ( 2 $\sqrt{3}$ ) ^2 - 2 ^2} аргумента =4 \sqrt{2}$
$AM ^2 + BM ^2 =2 \cdot ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 =24 меньше 32= ( 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 =AB ^2$
Следовательно, $\angle AMB больше 90 ^{\circ}$
б) Площадь треугольника MBA равна
$S_MBA= $\frac{1}{2}$ \cdot AB \cdot MT= $\frac{1}{2}$ \cdot 4 $\sqrt{2}$ \cdot 2=4 \sqrt{2}$
Ответ: б) $4 \sqrt{2}$
Правильный ответ:
б) $4 корень из 2$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69157 • Задание №15
Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При ...
ID 65667 • Задание №6
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 13, BC = 7 и AD = 11. Найдите четвёртую сторону четырёху...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №14 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67919
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.
а) Д...
ID 67920
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2 корень из 3$ а высота...
ID 67921
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что расстояние между...
ID 67922
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым ...
ID 67923
Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расс...