[рис.] а)  Проекция прямой $AC_1$ на плоскость ABCD это прямая $AC$ $AC\perp BD$ как диагонали ромба. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, $AC_1\perp BD$

б)  Пусть $O_1$   — центр грани $A_1B_1C_1D_1$ Плоскость $AA_1C_1$ пересекает плоскость $BDC_1$ по прямой $C_1O$ где O  — середина отрезка $BD$ Прямая BD перпендикулярна плоскости $AA_1C_1$ поскольку перпендикулярна прямым $OO_1$ и $AC$ Следовательно, плоскости $AA_1C_1$ и $BDC_1$ перпендикулярны. Поэтому расстояние от точки $O_1$ до плоскости $BDC_1$ = высоте $O_1H$ прямоугольного треугольника $OO_1C_1$
Из условия следует, что

$OO_1=6,O_1D_1=6,O_1C_1= $\sqrt{аргумента: C_1D_1 ^2 - O_1D_1 ^2}$ аргумента =8$

[рис.]
Откуда

$O_1H= \frac{O_1C_1 \cdot OO_1}{$\sqrt{аргумента: O_1C_1 ^2 + OO_1 ^2}$ аргумента} = $\frac{8 \cdot 6}{10}$ =4,8$

Ответ: 4,8.