[рис.] а)  Пусть точка N  — середина ребра АС, прямая BN пересекает плоскость α в точке H, a SO  — высота пирамиды SABC. Поскольку пирамида SABC правильная, точка пересечения медиан треугольника АВС совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBN. Следовательно, плоскость SBN перпендикулярна плоскости АВС.
Получаем, что прямая КН, являющаяся прямой пересечения плоскостей SBN и α, перпендикулярна плоскости АВС и параллельна прямой SO. В треугольнике SOB имеем:

$BH= $\frac{KB}{SB}$ \cdot OB = $\frac{3}{7}$ \cdot $\frac{2}{3}$ BN = $\frac{2}{7}$ BN$

Рассмотрим треугольник АВС. Пусть L  — такая точка на отрезке AM, что прямые LN и СМ параллельны, а H1,  — точка пересечения прямых BN и СМ. Тогда отрезок LN  — средняя линия треугольника ACM. Следовательно,

$AL=LM= $\frac{AM}{2}$ =2,5$
[рис.]
Получаем:

$BH_1= $\frac{BM}{BL}$ \cdot BN = $\frac{1}{1 + 2,5}$ BN = $\frac{2}{7}$ BN$

Таким образом, прямая СМ делит отрезок BN в таком же отношении, что и плоскость α, значит, плоскость α содержит точку С.
б)  Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение  — треугольник СКМ. В треугольнике SOB имеем:

$OB= $\frac{2}{3}$ BN= $\frac{2}{3}$ \cdot \frac{AB $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$SO= $\sqrt{аргумента: SB ^2 - OB ^2}$ аргумента =6$ [рис.]
$KH= $\frac{KB}{SB}$ \cdot SO = \frac{18}{7}$

По теореме \cos ов в треугольнике BCM имеем:

$CM= \sqrt{аргумента: BM ^2 + BC ^2 - 2BM \cdot BC \cdot \cos 60 ^{\circ}} аргумента = $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента$

Отрезок KH перпендикулярен плоскости ABC, а значит, и прямой CM. Следовательно, он является высотой треугольника CKM. Площадь треугольника CKM равна

$\frac{CM \cdot KH}{2} = \frac{9 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}{7}$

Ответ: б) $\frac{9 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}{7}$