В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S стороны основания равны 18, а боковые ребра — 15. Точка R принадлежит ребру SB, причем SR : RB = 2 : 1.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки С и R параллельно BD делит ребро SA пополам.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки С и R параллельно BD делит ребро SA пополам.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Пусть T — такая точка на SD, что отрезки RT и BD параллельны, тогда RT принадлежит сечению. Отрезок RT лежит в плоскости SBD и пересекает высоту SO в точке K. Таким образом, прямая CK также лежит в плоскости сечения SAC. Пусть L — точка пересечения CK и SA, это точка пересечения секущей плоскости с ребром SA. Отрезки SK и KO, SR и RB, ST и TD относятся друг к другу как 2 к 1, при этом SO — медиана треугольника SAC. Следовательно, K — точка пересечения его медиан и CL тоже медиана. Таким образом, SL = LA. [рис.]
б) Сечением пирамиды является дельтоид CRLT, составленный из двух = бедренных треугольников. Площадь дельтоида равна половине произведения диагоналей. Заметим, что
$TR= $\frac{2}{3}$ BD= $\frac{2}{3}$ $\sqrt{2}$ BC=12 \sqrt{2}$
Найдем другую диагональ. Пусть L' — проекция точки L на AC, тогда
$LL'= $\frac{1}{2}$ SO= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{аргумента: SB ^2 - BO ^2}$ аргумента = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: SB ^2 - ( \frac{$\sqrt{2}$}{2} BC ) ^2} аргумента = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: 15 ^2 - ( 9 $\sqrt{2}$ ) ^2} аргумента = \frac{3 $\sqrt{7}$}{2}$ $LL'= $\frac{1}{2}$ SO= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{аргумента: SB ^2 - BO ^2}$ аргумента =$
$= $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: SB ^2 - ( \frac{$\sqrt{2}$}{2} BC ) ^2} аргумента = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: 15 ^2 - ( 9 $\sqrt{2}$ ) ^2} аргумента = \frac{3 $\sqrt{7}$}{2}$ $LL'= $\frac{1}{2}$ SO= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{аргумента: SB ^2 - BO ^2}$ аргумента =$
$= $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: SB ^2 - ( \frac{$\sqrt{2}$}{2} BC ) ^2} аргумента =$
$= $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: 15 ^2 - ( 9 $\sqrt{2}$ ) ^2} аргумента = \frac{3 $\sqrt{7}$}{2}$
$CL'=CO + OL'=CO + $\frac{OA}{2}$ = $\frac{3}{4}$ CA= $\frac{3}{4}$ $\sqrt{2}$ BC= \frac{27 $\sqrt{2}$}{2}$
$CL= $\sqrt{аргумента: ( CL' ) ^2 + ( LL' ) ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( \frac{27 $\sqrt{2}$}{2} ) ^2 + ( \frac{3 $\sqrt{7}$}{2} ) ^2} аргумента = \frac{39}{2}$
Для искомой площади сечения получаем: $S= $\frac{1}{2}$ CL \cdot TR= $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{39}{2}$ \cdot 12 $\sqrt{2}$ =117 \sqrt{2}$
Ответ: б) $117 \sqrt{2}$
б) Сечением пирамиды является дельтоид CRLT, составленный из двух = бедренных треугольников. Площадь дельтоида равна половине произведения диагоналей. Заметим, что
$TR= $\frac{2}{3}$ BD= $\frac{2}{3}$ $\sqrt{2}$ BC=12 \sqrt{2}$
Найдем другую диагональ. Пусть L' — проекция точки L на AC, тогда
$LL'= $\frac{1}{2}$ SO= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{аргумента: SB ^2 - BO ^2}$ аргумента = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: SB ^2 - ( \frac{$\sqrt{2}$}{2} BC ) ^2} аргумента = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: 15 ^2 - ( 9 $\sqrt{2}$ ) ^2} аргумента = \frac{3 $\sqrt{7}$}{2}$ $LL'= $\frac{1}{2}$ SO= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{аргумента: SB ^2 - BO ^2}$ аргумента =$
$= $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: SB ^2 - ( \frac{$\sqrt{2}$}{2} BC ) ^2} аргумента = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: 15 ^2 - ( 9 $\sqrt{2}$ ) ^2} аргумента = \frac{3 $\sqrt{7}$}{2}$ $LL'= $\frac{1}{2}$ SO= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{аргумента: SB ^2 - BO ^2}$ аргумента =$
$= $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: SB ^2 - ( \frac{$\sqrt{2}$}{2} BC ) ^2} аргумента =$
$= $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: 15 ^2 - ( 9 $\sqrt{2}$ ) ^2} аргумента = \frac{3 $\sqrt{7}$}{2}$
$CL'=CO + OL'=CO + $\frac{OA}{2}$ = $\frac{3}{4}$ CA= $\frac{3}{4}$ $\sqrt{2}$ BC= \frac{27 $\sqrt{2}$}{2}$
$CL= $\sqrt{аргумента: ( CL' ) ^2 + ( LL' ) ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( \frac{27 $\sqrt{2}$}{2} ) ^2 + ( \frac{3 $\sqrt{7}$}{2} ) ^2} аргумента = \frac{39}{2}$
Для искомой площади сечения получаем: $S= $\frac{1}{2}$ CL \cdot TR= $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{39}{2}$ \cdot 12 $\sqrt{2}$ =117 \sqrt{2}$
Ответ: б) $117 \sqrt{2}$
Правильный ответ:
б) $117 корень из 2$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69712 • Задание №16
Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций...
ID 67102 • Задание №12
Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка x плюс 16 правая круглая скобка e в степени левая круг...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №14 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67919
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.
а) Д...
ID 67920
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2 корень из 3$ а высота...
ID 67921
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что расстояние между...
ID 67922
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым ...
ID 67923
Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расс...