[рис.] а)  Построим прямые $EK, EM, KF$ такие что: $EK\parallel DC,EM\parallel AB, KF\parallel AB$ тогда $MF\parallel DC$ искомое сечение параллелограмм $EKFM$ Покажем, что EKFM прямоугольник:

$EM \parallel AB,EK \parallel DC,DC \perp AB \Rightarrow EM \perp EK$

б)  Заметим, что $EK\parallel DC$ и E  — середина DB, тогда EK  — средняя линия треугольника $DBC$ Значит, $EK= $\frac{1}{2}$ DC=12$ аналогично $ME= $\frac{1}{2}$ AB=5$ EKMF  — прямоугольник, поэтому получаем:

$MK ^2 =ME ^2 + EK ^2 = сильно MK ^2 =12 ^2 + 5 ^2 = сильно MK = 13$

Пусть прямая MK пересекает прямую EF в точке O, тогда $MO=OK=EO=OF= $\frac{1}{2}$ MK= \frac{13}{2}$
Заметим, что $EM меньше EK$ (чтобы \cos в ответе получился положительным, а полученный угол  — острым). Применим теорему \cos ов в треугольнике $EOM$ :

$EM ^2 =MO ^2 + OE ^2 - 2MO \cdot OE \cdot \cos \angle EOM = сильно \cos \angle EOM= $\frac{2 \cdot \dfrac169}{4}$ - 252 \cdot \dfrac1694= \frac{119}{169}$ $EM ^2 =MO ^2 + OE ^2 - 2MO \cdot OE \cdot \cos \angle EOM = сильно$
$ = сильно \cos \angle EOM= $\frac{2 \cdot \dfrac169}{4}$ - 252 \cdot \dfrac1694= \frac{119}{169}$

Откуда $\angle EOM= \arccos \frac{119}{169}$

Ответ: $\arccos \frac{119}{169}$

Идея окончания решения Игоря Калинкина.
Можно найти площадь сечения, перемножив стороны прямоугольника и приравнять полученное произведение к формуле площади параллелограмма через диагонали ( $S= $\frac{1}{2}$ d_1d_2 \sin альфа$ где α   — угол между диагоналями). Выразив отсюда \sin угла между диагоналями и найдя \arcsin , получим $альфа = \arcsin \frac{120}{169}$

Идея окончания решения Марины Максимовской.
Рассмотрим = бедренный треугольник МОЕ, проведём высоту к МЕ. В получившемся прямоугольном треугольнике выразим \text{tg} половины нужного угла. Половина нужного угла получится $\arctan \frac{5}{12}$ тогда весь угол  — $2 \arctan \frac{5}{12}$