[рис.] а)  Заметим, что в треугольниках TBC и PCB углы B и С равны, сторона BC общая, и $BT меньше CP$ Тогда, записывая теорему \cos ов для сторон CT и BP этих треугольников, получаем искомое неравенство.
б)  Проведём высоту AD треугольника $ABC$ В тоже время AD  — высота пирамиды MPTA, опущенная из вершины A на плоскость основания $MPT$

$AD= \frac{BC $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = \frac{8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Площадь треугольника MPT составляет $\frac{3}{8} S_BCM$ Следовательно,

$S_MPT= \frac{3BC ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{32} = \frac{3 \cdot 64 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{32} =6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Найдём объём пирамиды:

$V= $\frac{1}{3}$ S_MPT \cdot AD= $\frac{1}{3}$ \cdot 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = 24$

Ответ: 24.

Приведём другое решение пyнкта б).
Знаем, что $V_MPTA= $\frac{1}{3}$ S_MPT \cdot AD$ где D  — середина $BC$
Поскольку AD  — медиана треугольника ABC, AD  — его высота, значит, $AD \bot BC$ кроме того, $AD \bot MD$ (поскольку по условию $( ABC ) \bot ( MBC ) иMD\bot BC$ ). Таким образом, $AD \bot ( MBC )$ то есть является высотой пирамиды  MPTA. Находим площадь треугольника MPT:

$S_MPT = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{3}{4}$ \cdot S_MBC = $\frac{3}{8}$ \cdot \frac{8 ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Тогда $AD = \frac{8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ следовательно,

$V_MPTA = $\frac{1}{3}$ \cdot 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = 24$

Приведем решение пункта а) Евгения Железняк.
Пусть точка K  — середина MB. Треугольники BKC и BPC равны, поскольку BK  =  CP, BC  — общая, ∠PBC = ∠KCB, следовательно, CK  =  BP. В правильном треугольнике BMC отрезок CK является медианой, следовательно, и высотой. Тогда CK  — перпендикуляр к прямой  BM, проведенный из точки C, а CT  — наклонная, следовательно, $CK меньше CT$ тогда $BP меньше CT$