[рис.] а)  Пусть точка L  — середина медианы треугольника ABS, проведенной к стороне AB. Пусть также точка O  — центр основания пирамиды, тогда отрезок OL  — средняя линия треугольника ESK, она параллельна апофеме SK. Проведем прямую PQ параллельно прямой AM так, что точка L лежит на прямой PQ, точка P  — на прямой AS, а точка Q  — на прямой BS. Пусть прямая PQ пересекает продолжения ребра AB за точку A в точке G, при этом прямая GO пересекает ребро AD в точке T и ребро BC в точке N. Точки Q, P, T и N лежат в плоскости α.
Пусть точка F  — точка пересечения прямых SE и AM. По теореме Фалеса для угла ESB и параллельных прямых GQ и AM получаем $\frac{SQ}{QM} = $\frac{SL}{LF}$ = \frac{3}{1}$ то есть $SQ = $\frac{3}{8}$ SB$ Треугольники ABM и GBQ подобны по двум углам, поэтому:

$\frac{BA}{BG} = \frac{4}{5}$
откуда
$BG = $\frac{5}{4}$ AB$

[рис.]
Тогда $AG = $\frac{1}{4}$ AB$
По теореме Фалеса для угла BGN и параллельных прямых AT и EO находим $\frac{GA}{GE} = $\frac{AT}{EO}$ = \frac{1}{3}$ то есть $AT = $\frac{1}{6}$ AD$ Треугольники AGT и BGN подобны по двум углам, следовательно, $\frac{AT}{BN} = \frac{GA}{GB}$ и потому:

$\frac{AD}{6BN} = \frac{1}{5}$
$BN = $\frac{5}{6}$ BC$
$BN : NC = 5 : 1$

б)  Рассмотрим пирамиду QGBN. Длина ее высоты, опущенной из точки Q, относится к длине высоты SO пирамиды SABCD так же, как длина отрезка QB относится к длине ребра SB, то есть как  $\frac{5}{8}$ Значит, $h_QGBN = $\frac{5}{8}$ \cdot 12 = 7,5$ Найдем площадь основания этой пирамиды, а затем и ее объем:

$S_GBN = $\frac{1}{2}$ \cdot GB \cdot BN = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{5}{4}$ AB \cdot $\frac{5}{6}$ BC = $\frac{25}{48}$ \cdot ( 8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 = 25 \cdot 4 = 100$
$V_QGBN = $\frac{1}{3}$ \cdot 7,5 \cdot 100 = 250$

Рассмотрим пирамиду PGAT. Длина ее высоты, опущенной из точки P, относится к длине высоты SO пирамиды SABCD так же, как длина отрезка PA относится к длине ребра SA. По теореме Фалеса для угла ASB и параллельных прямых GQ и AM получаем $\frac{PA}{SA} = $\frac{QM}{SM}$ = \frac{1}{4}$ поэтому $h_PGAT = $\frac{1}{4}$ \cdot 12 = 3$ Найдем объем пирамиды PGAT:

$V_PGAT = $\frac{1}{3}$ \cdot 3 \cdot $\frac{1}{2}$ GA \cdot AT = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{4}$ AB \cdot $\frac{1}{6}$ AD = \frac{( 8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2}{48} = 4$

Искомый объем есть разность объемов пирамид QGBN и PGAT. Получаем:

$V_APTNQ = V_QGBN - V_PGAT = 250 - 4 = 246$

Ответ: б)  246.