Преобразуем систему:

$$$\begin{cases} x ^2 + ( 2 - 5a ) x + 4a ^2 - 2a меньше или = 0 \\[6pt] x ^2 + a ^2 = 4 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 - ( 4a - 2 + a ) x + a ( 4a - 2 ) меньше или = 0 \\[6pt] x ^2 + a ^2 = 4 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( x - a ) ( x - 4a + 2 ) \leqslant0 \\[6pt] x ^2 + a ^2 = 4. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} x ^2 + ( 2 - 5a ) x + 4a ^2 - 2a меньше или = 0 \\[6pt] x ^2 + a ^2 = 4 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 - ( 4a - 2 + a ) x + a ( 4a - 2 ) меньше или = 0 \\[6pt] x ^2 + a ^2 = 4 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( x - a ) ( x - 4a + 2 ) \leqslant0 \\[6pt] x ^2 + a ^2 = 4. \end{cases}$$$

[рис.]
Решим задачу графо-аналитическим методом. Изобразим решение неравенства $( x - a ) ( x - 4a + 2 ) \leqslant0$ в плоскости $aOx$ Прямые $x=a$ и $x=4a - 2$ разбивают плоскость на четыре области, обозначенных римскими цифрами. В каждой из областей левая часть исходного неравенства сохраняет знак. Установим, в каких областях неравенство верно, взяв пробные точки.
Область I, точка $( 2;3 ) :$ $( 3 - 2 ) \cdot ( 3 - 4 \cdot 2 + 2 ) \leqslant0$   — верно.
Область II, точка $( 0;1 ) :$ $( 1 - 0 ) \cdot ( 1 - 4 \cdot 0 + 2 ) \leqslant0$   — неверно.
Область III, точка $( 0; - 1 ) :$ $( - 1 - 0 ) \cdot ( - 1 - 4 \cdot 0 + 2 ) \leqslant0$   — верно.
Область IV, точка $( 2;0 ) :$ $( 0 - 2 ) \cdot ( 0 - 4 \cdot 2 + 2 ) \leqslant0$   — неверно.
Множество точек, являющихся решением первого неравенства системы, выделено на рисунке синим цветом.
В плоскости aOx графиком уравнения $x ^2 + a ^2 = 4$ является окружность с центром в точке $( 0; 0 )$ и радиусом $r=2$ Решением системы будут дуги окружности $x ^2 + a ^2 = 4$ лежащие внутри области, являющейся решением неравенства $( x - a ) ( x - 4a + 2 ) \leqslant0$ Эти дуги выделены на рисунке цветом травы.
Найдём значения параметра a для точек пересечения прямых с окружностью, из систем уравнений:

$\{ \beginaligned x=a, x ^2 + a ^2 =4\endaligned. \Rightarrow 2a ^2 =4 = сильно \left[ \begin{array}{l} a= - $\sqrt{2}$ ,a= $\sqrt{2}$ ; \end{array} \right.$

$\{ \beginaligned x=4a - 2, x ^2 + a ^2 =4 \endaligned.\Rightarrow ( 4a - 2 ) ^2 + a ^2 =4 = сильно 17a ^2 - 16a=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a=0,a= $\frac{16}{17}$ . \end{array} \right.$

Таким образом, система имеет хотя бы одно решение при $ - $\sqrt{2}$ меньше или = a \leqslant0$ или при $\frac{16}{17} меньше или = a меньше или = \sqrt{2}$

Ответ: $[ - $\sqrt{2}$ ; 0 ] \cup [ $\frac{16}{17}$ ; $\sqrt{2}$ ]$