[рис.]
а)  Так как центральный угол AOB равен $120 ^{\circ}$ то опирающийся на ту же дугу вписанный угол равен $60 ^{\circ}$ а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу с противоположной стороны, равен $\angle ACB = 180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} = 120 ^{\circ}$ Выпишем теорему \cos ов для треугольника ABC:

$AB ^2 = AC ^2 + BC ^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ACB\Rightarrow$
$x ^2 + y ^2 + xy = 9$

Теперь напишем теорему \cos ов для треугольников ADC и BDC соответственно:

$AC ^2 = AD ^2 + CD ^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC \Rightarrow$
$y ^2 = 4 + 2 - 2 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos альфа = сильно y ^2 = 6 - 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos альфа$

$BC ^2 = BD ^2 + CD ^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos \angle BDC \Rightarrow$
$x ^2 = 1 + 2 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos альфа = сильно x ^2 = 3 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos альфа$

Выпишем еще теорему \sin ов для треугольников ABC и ADC соответственно:

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = $\frac{AB}{\sin \angle ACB}$ \Rightarrow $\frac{x}{\sin бета}$ = \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента /2} \Rightarrowx = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin бета = сильно \sin бета = \frac{x}{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ $\frac{BC}{\sin \angle BAC} = $\frac{AB}{\sin \angle ACB}$ \Rightarrow $\frac{x}{\sin бета}$ = \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента /2} \Rightarrow$
$\Rightarrowx = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin бета = сильно \sin бета = \frac{x}{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$
$\frac{AC}{\sin \angle ADC} = $\frac{DC}{\sin \angle DAC}$ \Rightarrow $\frac{y}{\sin альфа}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{\sin бета}$

Подставляя во второе выражение $\sin бета$ получим:

$\frac{y}{\sin альфа} = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{x} \Rightarrowxy = 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin альфа$

Осталось подставить полученные выражения для $x ^2 ,y ^2 и xy$ в самое первое выражение теоремы \cos ов:

$x ^2 + y ^2 + xy = 9\Rightarrow3 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos альфа + 6 - 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos альфа + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin альфа = 9 = сильно$
$ - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos альфа + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin альфа = 0 = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin альфа = \cos альфа \Rightarrow \text{tg} альфа = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} \Rightarrow альфа = \frac{\pi}{6}$ $ - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos альфа + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin альфа = 0 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin альфа = \cos альфа \Rightarrow \text{tg} альфа = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} \Rightarrow альфа = \frac{\pi}{6}$

Что и требовалось доказать.

б)  Воспользуемся предыдущим пунктом для поиска площади:

$S_ABC = S_ADC + S_BDC = $\frac{1}{2}$ AD \cdot DC \cdot \sin альфа + $\frac{1}{2}$ DB \cdot DC \cdot \sin ( 180 ^{\circ} - альфа ) =$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot 2 \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \sin 30 ^{\circ} + $\frac{1}{2}$ \cdot 1 \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \sin 150 ^{\circ} = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$ $S_ABC = S_ADC + S_BDC =$
$= $\frac{1}{2}$ AD \cdot DC \cdot \sin альфа + $\frac{1}{2}$ DB \cdot DC \cdot \sin ( 180 ^{\circ} - альфа ) =$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot 2 \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \sin 30 ^{\circ} + $\frac{1}{2}$ \cdot 1 \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \sin 150 ^{\circ} = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$

Ответ: $S_ABC = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$