Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1.
а) Докажите, что ABCD — параллелограмм или трапеция.
б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, а AD = 3.
а) Докажите, что ABCD — параллелограмм или трапеция.
б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, а AD = 3.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Найдем площадь треугольника ABD:
$S_ABD=S_AEB + S_AED=S_CDE + S_AED=S_ACD$
Тогда высоты треугольников ABD и ACD, проведенные к AD, равны. Значит, BC и AD параллельны, тогда ABCD является параллелограммом или трапецией.
б) Пусть площадь треугольника BEC равна x, тогда
$AE:EC=S_ABE:S_BEC=1:x$
следовательно,
$S_AED:S_DEC=AE:EC=1:x$
Тогда $S_AED= \frac{1}{x}$ По условию получаем, что
$x + $\frac{1}{x}$ + 1 + 1 меньше или = 4 = сильно x ^2 - 2x + 1 меньше или = 0 = сильно x=1$
Таким образом, площади треугольников BEC и AED равны. Из пункта а) получаем, что AB и CD параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм и BC = AD = 3.
Ответ: б) 3.
$S_ABD=S_AEB + S_AED=S_CDE + S_AED=S_ACD$
Тогда высоты треугольников ABD и ACD, проведенные к AD, равны. Значит, BC и AD параллельны, тогда ABCD является параллелограммом или трапецией.
б) Пусть площадь треугольника BEC равна x, тогда
$AE:EC=S_ABE:S_BEC=1:x$
следовательно,
$S_AED:S_DEC=AE:EC=1:x$
Тогда $S_AED= \frac{1}{x}$ По условию получаем, что
$x + $\frac{1}{x}$ + 1 + 1 меньше или = 4 = сильно x ^2 - 2x + 1 меньше или = 0 = сильно x=1$
Таким образом, площади треугольников BEC и AED равны. Из пункта а) получаем, что AB и CD параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм и BC = AD = 3.
Ответ: б) 3.
Правильный ответ:
б) 3
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68784 • Задание №15
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac13 правая круглая скобка левая круглая ск...
ID 65586 • Задание №6
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 90°, $синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби$ Найди...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №14 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67919
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.
а) Д...
ID 67920
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2 корень из 3$ а высота...
ID 67921
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что расстояние между...
ID 67922
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым ...
ID 67923
Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расс...