[рис.] а)  Пусть CK пересекает DB в точке P и пересекает AD в точке M. Пусть высоты треугольников DCA и DKA, который проведены к AD равны h1 и h2 соответственно. Тогда

$\frac{S_DCA}{S_DKA} = $\frac{h_1}{h_2}$ = \frac{2}{1}$

следовательно,

$\frac{CM}{KM} = \frac{2}{1}$

Таким образом, СK  =  KM. Тогда биссектриса DK является медианой, и треугольник CDM  — = бедренный. Следовательно, DK и CM перпендикулярны.
б)  Треугольники CBP И MDP подобны, тогда

$\frac{BC}{DM} = $\frac{CP}{MP}$ = $\frac{CM - KP}{KM + KP}$ = \frac{1}{2}$

Кроме того, из пункта а) получаем, что CD  =  DM, отсюда $BC= \frac{CD}{2}$
Пусть N  — середина CD, тогда треугольники CNK и CBK равны по двум сторонам и углу и, значит, KN  =  KB. Но KN является медианой, проведенной к гипотенузе CD прямоугольного треугольника CKD, следовательно,

$KN= $\frac{CD}{2}$ =BC=6$

Таким образом, BK  =  6.

Ответ: б) 6.