Пусть AD  =  d, BD  =  x, CD  =  y. Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников

$P_ADC=AE + ED + DC + AC=d + y + 4=2DE + 2 \cdot 4$

Откуда получаем: $DE= \frac{d + y - 4}{2}$ Аналогично, $DF= \frac{d + x - 7}{2}$
Тогда $EF=|DE - DF|=\left| $\frac{3 + y - x}{2}$ |$
Возможны два случая:
1.  Точка D лежит на отрезке BC. Тогда x  =  1,5, y  =  7,5, значит, EF  =  4,5.
2.  Точка D лежит вне отрезка BC. Тогда y − x  =  BC  =  9, значит, EF  =  6.

[рис.]
[рис.]

Ответ: 4,5 или 6.