Пусть CH  — высота треугольника ABC, r и Q  — радиус и центр вписанной окружности, CH  =  12, AH  =  5, поэтому AC  =  13. Найдем площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC:

$S= $\frac{CH \cdot AB}{2}$ = $\frac{12 \cdot 10}{2}$ =60,p= $\frac{1}{2}$ ( AC + AB + CB ) =AC + AH=18$

Тогда $r= $\frac{S}{p}$ = \frac{10}{3}$ Кроме того, по теореме Пифагора

$AQ= $\sqrt{аргумента: AH ^2 + QH ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 25 + $\frac{100}{9}$} аргумента = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3}$

Пусть окружность с центром в точке O касается боковой стороны AC = бедренного треугольника ABC и данных параллельных прямых. Радиус этой окружности равен 6, поскольку он вдвое меньше расстояния между прямыми. Точку касания окружности с прямой AB обозначим M.

[рис.]

Пусть точки B и M лежат по разные стороны от точки A (см. рис.). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и AQ  — биссектрисы смежных углов ∠MAC и ∠CAB соответственно. Значит, ∠OAQ  =  90°, и ∠MOA = ∠QAH, поскольку эти углы образованы парами соответственно перпендикулярных прямых. Следовательно, прямоугольные треугольники OMA и AHQ подобны с коэффициентом $\frac{OM}{AH} = \frac{6}{5}$ Поэтому

$OQ= $\sqrt{аргумента: OA ^2 + AQ ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( $\frac{6}{5}$ AQ ) ^2 + AQ ^2} аргумента =AQ \sqrt{аргумента: $\frac{36}{25}$ + 1} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 61}$ аргумента}{5} \cdot \frac{5 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3} = \frac{$\sqrt{аргумента: 793}$ аргумента}{3}$ $OQ= $\sqrt{аргумента: OA ^2 + AQ ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( $\frac{6}{5}$ AQ ) ^2 + AQ ^2} аргумента =$
$=AQ \sqrt{аргумента: $\frac{36}{25}$ + 1} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 61}$ аргумента}{5} \cdot \frac{5 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3} = \frac{$\sqrt{аргумента: 793}$ аргумента}{3}$

[рис.]

Пусть точки B и M лежат по одну сторону от точки A (см. рис.). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи AO и AQ совпадают и являются биссектрисой угла MAC. Значит, прямоугольные треугольники AOM и AQH подобны с коэффициентом $\frac{OM}{QH} =\dfrac6\phantomx\dfrac103\phantomx= \frac{9}{5}$ Тогда

$OQ=AO - AQ= $\frac{9}{5}$ AQ - AQ= $\frac{4}{5}$ AQ= $\frac{4}{5}$ \cdot \frac{5 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3} = \frac{4 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3}$

Ответ: $\frac{$\sqrt{аргумента: 793}$ аргумента}{3} , \frac{4 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{3}$