Заметим, что либо AC  =  BC, либо AB  =  BC (или AB  =  AC).
Первый случай (рис. 1). AC  =  BC  =  13. Пусть Н  — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r1  — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH  — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

$AH= $\sqrt{аргумента: AC ^2 - CH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 13 ^2 - 12 ^2}$ аргумента =5$

Тогда

$S_\Delta ABC=AH \cdot HC=5 \cdot 12=60$
$S_\Delta ABC= $\frac{1}{2}$ ( AB + BC + AC ) \cdot r_1=18r_1$

Из равенства 18r1  =  60 находим, что $r_1= \frac{10}{3}$

Второй случай. (рис. 2). Пусть AB  =  BC  =  13, CH  — высота треугольника ABC, r2  — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Тогда

$BH=5,AH=AB + BH=13 + 5=18$

Из прямоугольного треугольника ACH находим, что

$S_\Delta ABC= $\frac{1}{2}$ \cdot 13 \cdot 12=78,S_\Delta ABC= $\frac{1}{2}$ ( AB + AC + BC ) \cdot r_2= ( 13 + 3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ) r_2$ $S_\Delta ABC= $\frac{1}{2}$ \cdot 13 \cdot 12=78,S_\Delta ABC=$
$= $\frac{1}{2}$ ( AB + AC + BC ) \cdot r_2= ( 13 + 3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ) r_2$

Из равенства $( 13 + 3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ) r_2=78$ получаем, что $r_2= \frac{3 ( 13 - 3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента )}{2}$

[рис.]

Рассмотрим третий случай.
Третий случай состоит в том, что BC  =  AB и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота CH будет лежать внутри треугольника ABC и $AC=4 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$ В этом случаем радиус будет равен $r_3= $\frac{2}{3}$ ( 13 - 2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента )$
Ответ: $\frac{10}{3} , ~ $\frac{3}{2}$ ( 13 - 3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ) , ~ $\frac{2}{3}$ ( 13 - 2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента )$