[рис.] а)  Заметим, что по теореме о квадрате касательной

$BK \cdot BL=BA ^2 =BM \cdot BN$

Значит, треугольники BKM и BNL подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем $\angle BKM=\angle BNL$ Отсюда $\angle LKM + \angle LNM =180 в степени ( \circ )$ Следовательно, четырехугольник KLNM вписанный, что и требовалось доказать.
б)  Треугольники KPL и MPN подобны по двум углам, поэтому отношение их площадей = квадрату коэффициента подобия, то есть $\frac{KL ^2}{MN ^2}$ Пусть KL  =  x, MN  =  y, тогда по теореме о квадрате касательной получаем: $6 ^2 =9 ( 9 - x ) =5 ( 5 + y )$ Отсюда $x=5$ $y= \frac{11}{5}$ Таким образом,

$\frac{KL ^2}{MN ^2} = ( 5: ( $\frac{11}{5}$ ) ) ^2 = \frac{625}{121}$

Ответ: $\frac{625}{121}$