Преобразуем неравенство:

$\log_{левая} круглая скобка 0,2 ) ^2 ( 5x ^2 ) + \frac{2 \log_{левая} круглая скобка 0,2 ) ^2 x - 9 \log_{левая} круглая скобка 0,2 ) x + 2}{\log_{левая} круглая скобка 0,2 ) ( 25x )} \leqslant0 = сильно \log_{5} ^2 ( 5x ^2 ) + \frac{2 \log_{5} ^2 x + 9 \log_{5} x + 2}{ - \log_{5} ( 25x )} \leqslant0 = сильно$
$ = сильно ( 1 + 2 \log_{5} x ) ^2 - \frac{2 \log_{5} ^2 x + 9 \log_{5} x + 2}{2 + \log_{5} x} \leqslant0$ $\log_{левая} круглая скобка 0,2 ) ^2 ( 5x ^2 ) + \frac{2 \log_{левая} круглая скобка 0,2 ) ^2 x - 9 \log_{левая} круглая скобка 0,2 ) x + 2}{\log_{левая} круглая скобка 0,2 ) ( 25x )} \leqslant0 = сильно$
$ = сильно \log_{5} ^2 ( 5x ^2 ) + \frac{2 \log_{5} ^2 x + 9 \log_{5} x + 2}{ - \log_{5} ( 25x )} \leqslant0 = сильно$
$ = сильно ( 1 + 2 \log_{5} x ) ^2 - \frac{2 \log_{5} ^2 x + 9 \log_{5} x + 2}{2 + \log_{5} x} \leqslant0$

Пусть $t= \log_{5} x$ тогда

$( 1 + 2t ) ^2 - $\frac{2t ^2 + 9t + 2}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{( 1 + 2t ) ^2 ( 2 + t ) - ( 2t ^2 + 9t + 2 )}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{4t ^3 + 10t ^2}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{t ^2 ( 2t + 5 )}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2,5 меньше или = t меньше - 2,t=0. \end{array} \right.$ $( 1 + 2t ) ^2 - $\frac{2t ^2 + 9t + 2}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( 1 + 2t ) ^2 ( 2 + t ) - ( 2t ^2 + 9t + 2 )}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{4t ^3 + 10t ^2}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{t ^2 ( 2t + 5 )}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2,5 меньше или = t меньше - 2,t=0. \end{array} \right.$ $( 1 + 2t ) ^2 - $\frac{2t ^2 + 9t + 2}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( 1 + 2t ) ^2 ( 2 + t ) - ( 2t ^2 + 9t + 2 )}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{4t ^3 + 10t ^2}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{t ^2 ( 2t + 5 )}{2 + t}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2,5 меньше или = t меньше - 2,t=0. \end{array} \right.$

Вернёмся к исходной переменной:

$\left[ \begin{array}{l} - 2,5 меньше или = \log_{5} x меньше - 2, \log_{5} x=0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{25 $\sqrt{5}$} меньше или = x меньше $\frac{1}{25}$ ,x=1. \end{array} \right.$

Ответ: $[ \frac{1}{25 $\sqrt{5}$} ; $\frac{1}{25}$ ) \cup \{ 1 \}$