Областью определения неравенства являются положительные числа, отличные от 0,25 и 1. Выражение $\left| \log _x $\frac{x}{4}$ |$ либо = нулю при $x=4$ при этом неравенство верно; либо положительно, и тогда на него можно разделить, не меняя знака неравенства. Имеем:

$\log _4x ( 2x ^2 ) меньше или = 1 = сильно \log _4x ( 2x ^2 ) меньше или = \log _4x4x = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше 0 \\[6pt] новая строка x не = 0 \\[6pt] 25 \\[6pt] новая строка ( 4x - 1 ) ( 2x ^2 - 4x ) меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше 0 \\[6pt] новая строка x не = 0 \\[6pt] 25 \\[6pt] новая строка ( 4x - 1 ) ( x - 2 ) меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $\frac{1}{4}$ меньше x меньше или = 2$ $\log _4x ( 2x ^2 ) меньше или = 1 = сильно \log _4x ( 2x ^2 ) меньше или = \log _4x4x = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше 0 \\[6pt] новая строка x не = 0 \\[6pt] 25 \\[6pt] новая строка ( 4x - 1 ) ( 2x ^2 - 4x ) меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше 0 \\[6pt] новая строка x не = 0 \\[6pt] 25 \\[6pt] новая строка ( 4x - 1 ) ( x - 2 ) меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $\frac{1}{4}$ меньше x меньше или = 2$

Учитывая, что $x не = 1$ получаем ответ: $( $\frac{1}{4}$ ;1 ) \cup ( 1;2 ] \cup \{ 4 \}$

Ответ: $( $\frac{1}{4}$ ;1 ) \cup ( 1;2 ] \cup \{ 4 \}$