Решите неравенство: $\frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x$
💡 Пошаговый разбор и решение:
Область определения неравенства задается системой соотношений $x больше 0$ $x не = 1$ При $x больше 1$ знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, положителен, а потому на него можно умножить, не меняя знака неравенства. Получим:
$\log_{7} x ( 2 - \log_{4} x ) больше или = \log_{4} x ( \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x )$
Преобразуем правую часть:
$\log_{4} x ( \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x ) = \log_{4} x ( \log_{x} x - \log_{x} 4 + \log_{7} x ) = \log_{4} x - 1 + \log_{x} 4 \log_{7} x$ $\log_{4} x ( \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x ) = \log_{4} x ( \log_{x} x - \log_{x} 4 + \log_{7} x ) =$
$= \log_{4} x - 1 + \log_{x} 4 \log_{7} x$ $\log_{4} x ( \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x ) =$
$= \log_{4} x ( \log_{x} x - \log_{x} 4 + \log_{7} x ) =$
$= \log_{4} x - 1 + \log_{x} 4 \log_{7} x$
Тогда
$2 \log_{7} x - \log_{7} x \log_{4} x больше или = \log_{4} x - 1 + \log_{x} 4 \log_{7} x = сильно 2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \log_{4} x + ( 1 - \log_{4} x ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \log_{7} x + 1 ) ( 1 - \log_{4} x ) больше или = 0 = сильно \frac{1}{} $\sqrt{7}$ меньше или = x меньше или = 4$ $2 \log_{7} x - \log_{7} x \log_{4} x больше или = \log_{4} x - 1 + \log_{x} 4 \log_{7} x = сильно$
$ = сильно 2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \log_{4} x + ( 1 - \log_{4} x ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \log_{7} x + 1 ) ( 1 - \log_{4} x ) больше или = 0 = сильно \frac{1}{} $\sqrt{7}$ меньше или = x меньше или = 4$
На рассматриваемом промежутке $x больше 1$ поэтому $1 меньше x меньше или = 4$
При $0 меньше x меньше 1$ знаменатель дроби отрицателен, а значит, знак неравенства меняется. Находим:
$( 2 \log_{7} x + 1 ) ( 1 - \log_{4} x ) меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{1}{} $\sqrt{7}$ , x больше или = 4. \end{array} \right.$
Промежутку $0 меньше x меньше 1$ принадлежат решения $0 меньше x меньше или = \frac{1}{} \sqrt{7}$
Объединяя найденные решения, получаем ответ: $0 меньше x меньше или = \frac{1}{} \sqrt{7}$ или $1 меньше x меньше или = 4$
Ответ: $( 0; \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ] \cup ( 1; 4 ]$
Приведём другое решение.
Преобразуем неравенство:
$\frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \log_{x} 4 + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \frac{1}{\log_{4} x} + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \cdot \log_{4} x - \log_{4} x + 1}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно \frac{2 \log_{7} x ( 1 - \log_{4} x ) + 1 - \log_{4} x}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( 1 - \log_{4} x ) ( 2 \log_{7} x + 1 )}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно $$\begin{cases} \frac{( 4 - x ) ( x - \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ) \\[6pt] }{x - 1} больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше или = \frac{1}{} $\sqrt{7}$ , 1 меньше x меньше или = 4. \end{array} \right.$ $\frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \log_{x} 4 + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \frac{1}{\log_{4} x} + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \cdot \log_{4} x - \log_{4} x + 1}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x ( 1 - \log_{4} x ) + 1 - \log_{4} x}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно \frac{( 1 - \log_{4} x ) ( 2 \log_{7} x + 1 )}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \frac{( 4 - x ) ( x - \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ) \\[6pt] }{x - 1} больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше или = \frac{1}{} $\sqrt{7}$ , 1 меньше x меньше или = 4. \end{array} \right.$ $\frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \log_{x} 4 + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \frac{1}{\log_{4} x} + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \cdot \log_{4} x - \log_{4} x + 1}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x ( 1 - \log_{4} x ) + 1 - \log_{4} x}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно \frac{( 1 - \log_{4} x ) ( 2 \log_{7} x + 1 )}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \frac{( 4 - x ) ( x - \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ) \\[6pt] }{x - 1} больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше или = \frac{1}{} $\sqrt{7}$ , 1 меньше x меньше или = 4. \end{array} \right.$ $\frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \log_{x} 4 + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \frac{1}{\log_{4} x} + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \cdot \log_{4} x - \log_{4} x + 1}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x ( 1 - \log_{4} x ) + 1 - \log_{4} x}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( 1 - \log_{4} x ) ( 2 \log_{7} x + 1 )}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \frac{( 4 - x ) ( x - \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ) \\[6pt] }{x - 1} больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше или = \frac{1}{} $\sqrt{7}$ , 1 меньше x меньше или = 4. \end{array} \right.$
Ответ: $( 0; \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ] \cup ( 1; 4 ]$
$\log_{7} x ( 2 - \log_{4} x ) больше или = \log_{4} x ( \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x )$
Преобразуем правую часть:
$\log_{4} x ( \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x ) = \log_{4} x ( \log_{x} x - \log_{x} 4 + \log_{7} x ) = \log_{4} x - 1 + \log_{x} 4 \log_{7} x$ $\log_{4} x ( \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x ) = \log_{4} x ( \log_{x} x - \log_{x} 4 + \log_{7} x ) =$
$= \log_{4} x - 1 + \log_{x} 4 \log_{7} x$ $\log_{4} x ( \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x ) =$
$= \log_{4} x ( \log_{x} x - \log_{x} 4 + \log_{7} x ) =$
$= \log_{4} x - 1 + \log_{x} 4 \log_{7} x$
Тогда
$2 \log_{7} x - \log_{7} x \log_{4} x больше или = \log_{4} x - 1 + \log_{x} 4 \log_{7} x = сильно 2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \log_{4} x + ( 1 - \log_{4} x ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \log_{7} x + 1 ) ( 1 - \log_{4} x ) больше или = 0 = сильно \frac{1}{} $\sqrt{7}$ меньше или = x меньше или = 4$ $2 \log_{7} x - \log_{7} x \log_{4} x больше или = \log_{4} x - 1 + \log_{x} 4 \log_{7} x = сильно$
$ = сильно 2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \log_{4} x + ( 1 - \log_{4} x ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \log_{7} x + 1 ) ( 1 - \log_{4} x ) больше или = 0 = сильно \frac{1}{} $\sqrt{7}$ меньше или = x меньше или = 4$
На рассматриваемом промежутке $x больше 1$ поэтому $1 меньше x меньше или = 4$
При $0 меньше x меньше 1$ знаменатель дроби отрицателен, а значит, знак неравенства меняется. Находим:
$( 2 \log_{7} x + 1 ) ( 1 - \log_{4} x ) меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{1}{} $\sqrt{7}$ , x больше или = 4. \end{array} \right.$
Промежутку $0 меньше x меньше 1$ принадлежат решения $0 меньше x меньше или = \frac{1}{} \sqrt{7}$
Объединяя найденные решения, получаем ответ: $0 меньше x меньше или = \frac{1}{} \sqrt{7}$ или $1 меньше x меньше или = 4$
Ответ: $( 0; \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ] \cup ( 1; 4 ]$
Приведём другое решение.
Преобразуем неравенство:
$\frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \log_{x} 4 + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \frac{1}{\log_{4} x} + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \cdot \log_{4} x - \log_{4} x + 1}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно \frac{2 \log_{7} x ( 1 - \log_{4} x ) + 1 - \log_{4} x}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( 1 - \log_{4} x ) ( 2 \log_{7} x + 1 )}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно $$\begin{cases} \frac{( 4 - x ) ( x - \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ) \\[6pt] }{x - 1} больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше или = \frac{1}{} $\sqrt{7}$ , 1 меньше x меньше или = 4. \end{array} \right.$ $\frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \log_{x} 4 + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \frac{1}{\log_{4} x} + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \cdot \log_{4} x - \log_{4} x + 1}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x ( 1 - \log_{4} x ) + 1 - \log_{4} x}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно \frac{( 1 - \log_{4} x ) ( 2 \log_{7} x + 1 )}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \frac{( 4 - x ) ( x - \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ) \\[6pt] }{x - 1} больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше или = \frac{1}{} $\sqrt{7}$ , 1 меньше x меньше или = 4. \end{array} \right.$ $\frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \log_{x} 4 + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \frac{1}{\log_{4} x} + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \cdot \log_{4} x - \log_{4} x + 1}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x ( 1 - \log_{4} x ) + 1 - \log_{4} x}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно \frac{( 1 - \log_{4} x ) ( 2 \log_{7} x + 1 )}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \frac{( 4 - x ) ( x - \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ) \\[6pt] }{x - 1} больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше или = \frac{1}{} $\sqrt{7}$ , 1 меньше x меньше или = 4. \end{array} \right.$ $\frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = \log_{x} $\frac{x}{4}$ + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \log_{x} 4 + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{\log_{7} x \cdot ( 2 - \log_{4} x )}{\log_{4} x} больше или = 1 - \frac{1}{\log_{4} x} + \log_{7} x = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x - 2 \log_{7} x \cdot \log_{4} x - \log_{4} x + 1}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{2 \log_{7} x ( 1 - \log_{4} x ) + 1 - \log_{4} x}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( 1 - \log_{4} x ) ( 2 \log_{7} x + 1 )}{\log_{4} x} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \frac{( 4 - x ) ( x - \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ) \\[6pt] }{x - 1} больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше или = \frac{1}{} $\sqrt{7}$ , 1 меньше x меньше или = 4. \end{array} \right.$
Ответ: $( 0; \frac{1}{} $\sqrt{7}$ ] \cup ( 1; 4 ]$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 4 правая квадратная скобка$ $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 7 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 4 правая квадратная скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66883 • Задание №11
[рис.] На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая ...
ID 65341 • Задание №5
[рис.] Площадь сектора круга радиуса 3 равна 6. Найдите длину его дуги....
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...