Решите неравенство: $\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ^2 ( x + 2 ) ^2 - 16 \log_{левая} круглая скобка ( x + 1 ) ^2 ) ( x + 2 ) в степени ( \tfrac1 ) 2 - 8 больше или = 0$
💡 Пошаговый разбор и решение:
Неравенство определено при $x больше - 1$ $x\not=0$ Преобразуем неравенство при этом ограничении.
$\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ^2 ( x + 2 ) ^2 - 16 \log_{левая} круглая скобка ( x + 1 ) ^2 ) ( x + 2 ) в степени ( \tfrac1 ) 2 - 8 больше или = 0 = сильно \log ^2 _x + 1 ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - 2 больше или = 0$ $\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ^2 ( x + 2 ) ^2 - 16 \log_{левая} круглая скобка ( x + 1 ) ^2 ) ( x + 2 ) в степени ( \tfrac1 ) 2 - 8 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \log ^2 _x + 1 ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - 2 больше или = 0$
Сделаем замену $t= \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 )$ Тогда
$t ^2 - t - 2 больше или = 0 = сильно ( t + 1 ) ( t - 2 ) больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t\leqslant - 1, t больше или = 2. \end{array} \right.$
Вернемся к исходной переменной, на ОДЗ применим метод рационализации:
$\left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) меньше или = - 1, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) больше или = 2 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) + \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) ^2 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) $\frac{x + 2}{( x + 1 ) ^2}$ больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{( x + 2 ) ( x + 1 ) - 1}{x + 1 - 1}$ меньше или = 0, $\frac{\dfracx + 2}{( x + 1 ) ^2}$ - 1x + 1 - 1 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x ^2 + 3x + 1}{x}$ меньше или = 0, $\frac{x ^2 + x - 1}{x}$ меньше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше 0, x меньше или = \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , 0 меньше x меньше или = \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) меньше или = - 1, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) больше или = 2 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) + \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) ^2 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) $\frac{x + 2}{( x + 1 ) ^2}$ больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{( x + 2 ) ( x + 1 ) - 1}{x + 1 - 1}$ меньше или = 0, $\frac{\dfracx + 2}{( x + 1 ) ^2}$ - 1x + 1 - 1 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x ^2 + 3x + 1}{x}$ меньше или = 0, $\frac{x ^2 + x - 1}{x}$ меньше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше 0, x меньше или = \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , 0 меньше x меньше или = \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) меньше или = - 1, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) больше или = 2 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) + \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) ^2 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) $\frac{x + 2}{( x + 1 ) ^2}$ больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{( x + 2 ) ( x + 1 ) - 1}{x + 1 - 1}$ меньше или = 0, $\frac{\dfracx + 2}{( x + 1 ) ^2}$ - 1x + 1 - 1 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x ^2 + 3x + 1}{x}$ меньше или = 0, $\frac{x ^2 + x - 1}{x}$ меньше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше 0, x меньше или = \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , 0 меньше x меньше или = \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) меньше или = - 1, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) больше или = 2 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) + \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) ^2 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) $\frac{x + 2}{( x + 1 ) ^2}$ больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{( x + 2 ) ( x + 1 ) - 1}{x + 1 - 1}$ меньше или = 0, $\frac{\dfracx + 2}{( x + 1 ) ^2}$ - 1x + 1 - 1 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x ^2 + 3x + 1}{x}$ меньше или = 0, $\frac{x ^2 + x - 1}{x}$ меньше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше 0, x меньше или = \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , 0 меньше x меньше или = \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$
С учетом ОДЗ получаем: $\frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше 0$ или $0 меньше x меньше или = \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 1}{2} )$
Ответ: $[ \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 3}{2} ,0 ) \cup ( 0, \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 1}{2} ]$
$\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ^2 ( x + 2 ) ^2 - 16 \log_{левая} круглая скобка ( x + 1 ) ^2 ) ( x + 2 ) в степени ( \tfrac1 ) 2 - 8 больше или = 0 = сильно \log ^2 _x + 1 ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - 2 больше или = 0$ $\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ^2 ( x + 2 ) ^2 - 16 \log_{левая} круглая скобка ( x + 1 ) ^2 ) ( x + 2 ) в степени ( \tfrac1 ) 2 - 8 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \log ^2 _x + 1 ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - 2 больше или = 0$
Сделаем замену $t= \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 )$ Тогда
$t ^2 - t - 2 больше или = 0 = сильно ( t + 1 ) ( t - 2 ) больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t\leqslant - 1, t больше или = 2. \end{array} \right.$
Вернемся к исходной переменной, на ОДЗ применим метод рационализации:
$\left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) меньше или = - 1, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) больше или = 2 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) + \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) ^2 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) $\frac{x + 2}{( x + 1 ) ^2}$ больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{( x + 2 ) ( x + 1 ) - 1}{x + 1 - 1}$ меньше или = 0, $\frac{\dfracx + 2}{( x + 1 ) ^2}$ - 1x + 1 - 1 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x ^2 + 3x + 1}{x}$ меньше или = 0, $\frac{x ^2 + x - 1}{x}$ меньше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше 0, x меньше или = \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , 0 меньше x меньше или = \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) меньше или = - 1, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) больше или = 2 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) + \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) ^2 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) $\frac{x + 2}{( x + 1 ) ^2}$ больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{( x + 2 ) ( x + 1 ) - 1}{x + 1 - 1}$ меньше или = 0, $\frac{\dfracx + 2}{( x + 1 ) ^2}$ - 1x + 1 - 1 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x ^2 + 3x + 1}{x}$ меньше или = 0, $\frac{x ^2 + x - 1}{x}$ меньше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше 0, x меньше или = \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , 0 меньше x меньше или = \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) меньше или = - 1, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) больше или = 2 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) + \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) ^2 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) $\frac{x + 2}{( x + 1 ) ^2}$ больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{( x + 2 ) ( x + 1 ) - 1}{x + 1 - 1}$ меньше или = 0, $\frac{\dfracx + 2}{( x + 1 ) ^2}$ - 1x + 1 - 1 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x ^2 + 3x + 1}{x}$ меньше или = 0, $\frac{x ^2 + x - 1}{x}$ меньше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше 0, x меньше или = \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , 0 меньше x меньше или = \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) меньше или = - 1, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) больше или = 2 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) + \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) - \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 1 ) ^2 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) меньше или = 0, \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) $\frac{x + 2}{( x + 1 ) ^2}$ больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{( x + 2 ) ( x + 1 ) - 1}{x + 1 - 1}$ меньше или = 0, $\frac{\dfracx + 2}{( x + 1 ) ^2}$ - 1x + 1 - 1 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x ^2 + 3x + 1}{x}$ меньше или = 0, $\frac{x ^2 + x - 1}{x}$ меньше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше 0, x меньше или = \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} , 0 меньше x меньше или = \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$
С учетом ОДЗ получаем: $\frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше 0$ или $0 меньше x меньше или = \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 1}{2} )$
Ответ: $[ \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 3}{2} ,0 ) \cup ( 0, \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 1}{2} ]$
Правильный ответ:
$левая квадратная скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 3, знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0, дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71299 • Задание №18
Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по дву...
ID 64598 • Задание №2
Поезд Казань-Москва отправляется в 21:35, а прибывает в 10:35 на следующий день (время московское). Сколько ча...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...