Неравенство определено при $x больше 3$ $x не = 4$ На области определения используем свойство \log а:

$\frac{1}{\log_{левая} круглая скобка x - 3 ) 0,5} = - \frac{1}{\log_{левая} круглая скобка x - 3 ) 2} = - \log_{2} ( x - 3 )$

Перенесем \log ы из правой части в левую, перейдём к \log ам по основанию 2, разложим полученную правую часть на множители:

$\log_{левая} круглая скобка x - 2 ) ( x - 3 ) + \log_{2} ( x - 3 ) + \log_{левая} круглая скобка x - 2 ) ( x + 5 ) - \log_{левая} круглая скобка 0,5 ) ( x + 5 ) =$
$= \frac{\log_{2} ( x - 3 )}{\log_{2} ( x - 2 )} + \log_{2} ( x - 3 ) + \frac{\log_{2} ( x + 5 )}{\log_{2} ( x - 2 )} + \log_{2} ( x + 5 ) =$
$= \frac{\log_{2} ( x + 5 ) + \log_{2} ( x - 3 )}{\log_{2} ( x - 2 )} + \log_{2} ( x - 3 ) + \log_{2} ( x + 5 ) + =$
$= ( \log_{2} ( x + 5 ) + \log_{2} ( x - 3 ) ) ( 1 + \frac{1}{} \log_{2} ( x - 2 ) )$

При $x больше 3$ верно неравенство $\log_{2} ( x - 2 ) больше 0$ а потому выражение в скобках положительно, и на него можно разделить. Далее применим метод рационализации:

$\log_{2} ( x + 5 ) + \log_{2} ( x - 3 ) меньше или = 0 = сильно \log_{2} ( x + 5 ) - \log_{2} \frac{1}{} x - 3 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 - 1 ) ( x + 5 - \frac{1}{} x - 3 ) меньше или = 0 = сильно x + 5 - \frac{1}{} x - 3 меньше или = 0 \underset x больше 3 \mathop = сильно ( x + 5 ) ( x - 3 ) - 1 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно x ^2 + 2x - 16 меньше или = 0 = сильно - 1 - $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента меньше или = x меньше или = - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента \underset x больше 3, x не = 4 \mathop = сильно 3 меньше x меньше или = - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента$ $\log_{2} ( x + 5 ) + \log_{2} ( x - 3 ) меньше или = 0 = сильно \log_{2} ( x + 5 ) - \log_{2} \frac{1}{} x - 3 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 - 1 ) ( x + 5 - \frac{1}{} x - 3 ) меньше или = 0 = сильно x + 5 - \frac{1}{} x - 3 меньше или = 0 \underset x больше 3 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно ( x + 5 ) ( x - 3 ) - 1 меньше или = 0 = сильно x ^2 + 2x - 16 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно - 1 - $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента меньше или = x меньше или = - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента \underset x больше 3, x не = 4 \mathop = сильно 3 меньше x меньше или = - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента$ $\log_{2} ( x + 5 ) + \log_{2} ( x - 3 ) меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \log_{2} ( x + 5 ) - \log_{2} \frac{1}{} x - 3 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 - 1 ) ( x + 5 - \frac{1}{} x - 3 ) меньше или = 0 = сильно x + 5 - \frac{1}{} x - 3 меньше или = 0 \underset x больше 3 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно ( x + 5 ) ( x - 3 ) - 1 меньше или = 0 = сильно x ^2 + 2x - 16 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно - 1 - $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента меньше или = x меньше или = - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента \underset x больше 3, x не = 4 \mathop = сильно 3 меньше x меньше или = - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента$ $\log_{2} ( x + 5 ) + \log_{2} ( x - 3 ) меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \log_{2} ( x + 5 ) - \log_{2} \frac{1}{} x - 3 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 - 1 ) ( x + 5 - \frac{1}{} x - 3 ) меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно x + 5 - \frac{1}{} x - 3 меньше или = 0 \underset x больше 3 \mathop = сильно ( x + 5 ) ( x - 3 ) - 1 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно x ^2 + 2x - 16 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно - 1 - $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента меньше или = x меньше или = - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента \underset x больше 3, x не = 4 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно 3 меньше x меньше или = - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента$

Ответ: $( 3; - 1 + $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента ]$