Числитель дроби имеет вид $a ^2 - 2 ab - 3b ^2$ и раскладывается на множители $( a - 3b ) ( a + b )$ Действительно,

$( x ^2 + x + 1 ) ^2 - 2 |x ^3 + x ^2 + x| - 3 x ^2 = ( x ^2 + x + 1 ) ^2 - 2|x| \cdot |x ^2 + x + 1| - 3 |x| ^2 =$
$= ( |x ^2 + x + 1| - 3|x| ) ( |x ^2 + x + 1| + |x| )$ $( x ^2 + x + 1 ) ^2 - 2 |x ^3 + x ^2 + x| - 3 x ^2 =$
$= ( x ^2 + x + 1 ) ^2 - 2|x| \cdot |x ^2 + x + 1| - 3 |x| ^2 =$
$= ( |x ^2 + x + 1| - 3|x| ) ( |x ^2 + x + 1| + |x| )$

Множитель $( |x ^2 + x + 1| + |x| )$ положителен при любых значениях переменной x, поэтому исходное неравенство = сильно неравенству

$\frac{|x ^2 + x + 1| - 3|x|}{10 x ^2 - 17 x - 6} больше или = 0$

Разность модулей двух выражений имеет тот же знак, что разность квадратов этих выражений, а потому

$\frac{|x ^2 + x + 1| - 3|x|}{10 x ^2 - 17 x - 6} больше или = 0 = сильно $\frac{( x ^2 + x + 1 ) ^2 - ( 3x ) ^2}{10 x ^2 - 17 x - 6}$ больше или = 0 = сильно $\frac{( x ^2 + x + 1 - 3x ) ( x ^2 + x + 1 + 3x )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( x - 1 ) ^2 ( x ^2 + 4x + 1 )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )}$ больше или = 0 = сильно \frac{( x - 1 ) ^2 ( x + 2 + $\sqrt{3}$ ) ( x + 2 - $\sqrt{3}$ )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} больше или = 0$ $\frac{|x ^2 + x + 1| - 3|x|}{10 x ^2 - 17 x - 6} больше или = 0 = сильно $\frac{( x ^2 + x + 1 ) ^2 - ( 3x ) ^2}{10 x ^2 - 17 x - 6}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( x ^2 + x + 1 - 3x ) ( x ^2 + x + 1 + 3x )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( x - 1 ) ^2 ( x ^2 + 4x + 1 )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )}$ больше или = 0 = сильно \frac{( x - 1 ) ^2 ( x + 2 + $\sqrt{3}$ ) ( x + 2 - $\sqrt{3}$ )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} больше или = 0$ $\frac{|x ^2 + x + 1| - 3|x|}{10 x ^2 - 17 x - 6} больше или = 0 = сильно $\frac{( x ^2 + x + 1 ) ^2 - ( 3x ) ^2}{10 x ^2 - 17 x - 6}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( x ^2 + x + 1 - 3x ) ( x ^2 + x + 1 + 3x )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( x - 1 ) ^2 ( x ^2 + 4x + 1 )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( x - 1 ) ^2 ( x + 2 + $\sqrt{3}$ ) ( x + 2 - $\sqrt{3}$ )}{( 10x + 3 ) ( x - 2 )} больше или = 0$

Cравним корень числителя $ - 2 + \sqrt{3}$ и корень знаменателя $ - 0,3$ и решим неравенство методом интервалов:

$3 больше 2,89 \Rightarrow $\sqrt{3}$ больше $\sqrt{аргумента: 2,89}$ аргумента \Rightarrow $\sqrt{3}$ больше 1,7 \Rightarrow - 2 + $\sqrt{3}$ больше - 2 + 1,7 \Rightarrow - 2 + $\sqrt{3}$ больше - 0,3$ $3 больше 2,89 \Rightarrow $\sqrt{3}$ больше $\sqrt{аргумента: 2,89}$ аргумента \Rightarrow $\sqrt{3}$ больше 1,7 \Rightarrow$
$\Rightarrow - 2 + $\sqrt{3}$ больше - 2 + 1,7 \Rightarrow - 2 + $\sqrt{3}$ больше - 0,3$

[рис.]

Таким образом, решением неравенства является совокупность

$\left[ \begin{array}{l} x меньше или = - 2 - $\sqrt{3}$ , - 0,3 меньше x меньше или = - 2 + $\sqrt{3}$ ,x=1,x больше 2. \end{array} \right.$

Ответ: $( - бесконечность ; - 2 - $\sqrt{3}$ ] \cup ( - 0,3; - 2 + $\sqrt{3}$ ] \cup \{ 1 \} \cup ( 2; + бесконечность )$