Решите неравенство: $5 в степени ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) ) больше или = ( x ^2 + 3 x + 2 ) в степени ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) 25 )$
💡 Пошаговый разбор и решение:
Область определения неравенства задается условиями:
$x ^2 + 3x + 2 больше 0$
$3x ^2 + 8x + 4 больше 0$
$x + 1 больше 0$
$x + 1 не = 1$
Заметим, что если $x + 1 больше 0$ то
$x ^2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 ) больше 0$
$3x ^2 + 8 x + 4 больше 0 = сильно ( x + 2 ) ( 3x + 2 ) больше 0 \underset x больше - 1 \mathop = сильно x больше - \frac{2}{3}$
Таким образом, $ - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0$
Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство $a в степени ( \log_{b} c ) = c в степени ( \log_{b} a )$ получим:
$( x ^2 + 3 x + 2 ) в степени ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) 25 ) = 25 в степени ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ) = 5 в степени ( 2 \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) )$
Исходное неравенство = сильно следующим:
$5 в степени ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) ) больше или = 5 в степени ( 2 \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ) = сильно \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = 2 \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2$ $5 в степени ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) ) больше или = 5 в степени ( 2 \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ) = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = 2 \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2$
Решим полученное неравенство методом рационализации. На области определения \log ов неравенства $\log_{a} b больше \log_{a} c$ и $( a - 1 ) ( b - c ) больше 0$ = сильны. Отсюда получаем:
$\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ( 3 x ^2 + 8 x + 4 - ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 ) больше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ( x в степени 4 + 6x ^3 + 10x ^2 + 4x ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 ( x + 2 ) ( x ^2 + 4x + 2 ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 4x + 2 меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно - $\frac{2}{3}$ меньше x меньше или = - 2 + \sqrt{2}$ $\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ( 3 x ^2 + 8 x + 4 - ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 ) больше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ( x в степени 4 + 6x ^3 + 10x ^2 + 4x ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 ( x + 2 ) ( x ^2 + 4x + 2 ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 4x + 2 меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно - $\frac{2}{3}$ меньше x меньше или = - 2 + \sqrt{2}$ $\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ( 3 x ^2 + 8 x + 4 - ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 ) больше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ( x в степени 4 + 6x ^3 + 10x ^2 + 4x ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 ( x + 2 ) ( x ^2 + 4x + 2 ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 4x + 2 меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно - $\frac{2}{3}$ меньше x меньше или = - 2 + \sqrt{2}$
Ответ: $( - $\frac{2}{3}$ ; - 2 + $\sqrt{2}$ ]$
$x ^2 + 3x + 2 больше 0$
$3x ^2 + 8x + 4 больше 0$
$x + 1 больше 0$
$x + 1 не = 1$
Заметим, что если $x + 1 больше 0$ то
$x ^2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 ) больше 0$
$3x ^2 + 8 x + 4 больше 0 = сильно ( x + 2 ) ( 3x + 2 ) больше 0 \underset x больше - 1 \mathop = сильно x больше - \frac{2}{3}$
Таким образом, $ - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0$
Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство $a в степени ( \log_{b} c ) = c в степени ( \log_{b} a )$ получим:
$( x ^2 + 3 x + 2 ) в степени ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) 25 ) = 25 в степени ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ) = 5 в степени ( 2 \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) )$
Исходное неравенство = сильно следующим:
$5 в степени ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) ) больше или = 5 в степени ( 2 \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ) = сильно \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = 2 \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2$ $5 в степени ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) ) больше или = 5 в степени ( 2 \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ) = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = 2 \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2$
Решим полученное неравенство методом рационализации. На области определения \log ов неравенства $\log_{a} b больше \log_{a} c$ и $( a - 1 ) ( b - c ) больше 0$ = сильны. Отсюда получаем:
$\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ( 3 x ^2 + 8 x + 4 - ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 ) больше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ( x в степени 4 + 6x ^3 + 10x ^2 + 4x ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 ( x + 2 ) ( x ^2 + 4x + 2 ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 4x + 2 меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно - $\frac{2}{3}$ меньше x меньше или = - 2 + \sqrt{2}$ $\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ( 3 x ^2 + 8 x + 4 - ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 ) больше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ( x в степени 4 + 6x ^3 + 10x ^2 + 4x ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 ( x + 2 ) ( x ^2 + 4x + 2 ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 4x + 2 меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно - $\frac{2}{3}$ меньше x меньше или = - 2 + \sqrt{2}$ $\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( 3 x ^2 + 8 x + 4 ) больше или = \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ( 3 x ^2 + 8 x + 4 - ( x ^2 + 3 x + 2 ) ^2 ) больше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ( x в степени 4 + 6x ^3 + 10x ^2 + 4x ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 ( x + 2 ) ( x ^2 + 4x + 2 ) меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 4x + 2 меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше x не = 0 \end{cases}$$ . = сильно - $\frac{2}{3}$ меньше x меньше или = - 2 + \sqrt{2}$
Ответ: $( - $\frac{2}{3}$ ; - 2 + $\sqrt{2}$ ]$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 2 плюс корень из 2 правая квадратная скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69109 • Задание №15
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец ...
ID 69652 • Задание №16
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 60 месяцев. Условия его ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...