[рис.] а)  Обозначим центр окружности за O, а точки касания окружности со сторонами B и C за K и L соответственно. Очевидно BO  — биссектриса угла ABC. Пусть $\frac{120}{17} =r$ $BK=BL=x$ $AK=10 - x$ $LC=24 - x$ Тогда

$AO= $\sqrt{аргумента: r ^2 + ( 10 - x ) ^2}$ аргумента$ $CO= $\sqrt{аргумента: r ^2 + ( 24 - x ) ^2}$ аргумента$

По свойству биссектрисы

$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{BC}$
$\frac{$\sqrt{аргумента: r ^2 + ( 10 - x ) ^2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: r ^2 + ( 24 - x ) ^2}$ аргумента} = \frac{10}{24}$
$24 ^2 ( r ^2 + ( 10 - x ) ^2 ) =10 ^2 ( r ^2 + ( 24 - x ) ^2 )$
$476r ^2 + 476x ^2 - 24 ^2 \cdot 20x + 10 ^2 \cdot 48x=0$
$476r ^2 + 476x ^2 - 24 \cdot 10 \cdot 28x=0$
$17r ^2 + 17x ^2 - 240x=0$
$120 ^2 - 17 \cdot 240x + 17 ^2 x ^2 =0$
$( 120 - 17x ) ^2 =0$
$x= $\frac{120}{17}$ =r$

Отсюда треугольники OKB и OLB = бедренные, поэтому $\angle OBK=\angle OBL=45 ^{\circ}$ $\angle ABC=90 ^{\circ}$
б)  Длину этой высоты можно найти по формуле

$h= $\frac{2S_ABC}{AC}$ = \frac{AB \cdot BC}{$\sqrt{аргумента: AB ^2 + BC ^2}$ аргумента} = $\frac{240}{26}$ = \frac{120}{13}$

Ответ: $\frac{120}{13}$