[рис.] Решим задачу графоаналитическим способом. Преобразуем систему:

$$$\begin{cases} 2x ^2 + ( 5a - 8 ) x + 2a ^2 - 10a + 8\leqslant0 \\[6pt] |2x - 2a - 1|\leqslant3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( 2x + a - 4 ) ( x + 2a - 2 ) меньше или = 0 \\[6pt] - 3 меньше или = 2x - 2a - 1\leqslant3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( 2x + a - 4 ) ( $\frac{x}{2}$ + a - 1 ) меньше или = 0 \\[6pt] x - 2 меньше или = a меньше или = x + 1. \end{cases}$$$

В системе координат xOa первому неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих в двух частях плоскости, ограниченных прямыми $a= - 2x + 4$ и $a= - $\frac{x}{2}$ + 1$ включая сами прямые (выделено синим). Второму неравенству соответствует полоса между прямыми $a=x - 2$ и $a=x + 1$ включая сами прямые (выделено красным). Решением системы будут общие точки частей плоскости, соответствующих первому и второму неравенствам (выделено фиолетовым). Таким образом, система имеет хотя бы одно решение при $0 меньше или = a меньше или = 2$

Ответ: $[ 0; 2 ]$