[рис.] а)  Из условия задачи следует, что AO ⊥ AB. Следовательно, AO || BE как два перпендикуляра к одной и той же прямой.
Сделаем дополнительное построение: продолжим AO до пересечения с другой точкой окружности, которую обозначим D. Соединим точки E и D отрезком. Мы получили вписанную трапецию ACED, одним основанием которой будет служить диаметр заданной окружности.
Так как в окружность можно вписать только = бедренную трапецию, то DE  =  AC  =  6. Но эти же равные хорды стягивают и равные дуги АС и DE. Следовательно, равным дугам соответствующие центральные углы AOC и DOE обязаны быть равными.
Отсюда: ∠AOE + ∠AOC = ∠AOE + ∠ DOE  =  180°, что и требовалось доказать.

б)  Заметим, что ∠AED  =  90° как вписанный, опирающийся на диаметр AD. Два прямоугольных треугольника ABE и AED имеют равные острые углы: ∠BEA и ∠EAD (внутренние накрест лежащие при параллельных BE, AD и секущей AE). Следовательно, они (треугольники) подобны, откуда:

$\frac{BE}{AE} = \frac{AE}{AD}$ $AE ^2 =BE \cdot AD=5AD$

В прямоугольном треугольнике AED по теореме Пифагора: AD2  =  AE2 + DE2  =  5AD + 36. То есть

$AD ^2 - 5AD - 36=0$ $AD= \frac{5\pm $\sqrt{аргумента: 25 + 144}$ аргумента}{2} = $\frac{5\pm 13}{2}$ .AD=9$

Ответ: б) 9.