[рис.] а)  По условию задачи ∠MPO = ∠MKO  =  90°. А это значит, что прямоугольные треугольники MPO и MKO имеют общую гипотенузу MO, что в свою очередь означает: точки M, O, P, K принадлежат окружности с центром в середине отрезка MO и радиусом, равным половине длины отрезка MO. Обозначим ее (окружность) ω.
Из сказанного немедленно следует, что существует точка, = удаленная от точек M, O, P, K, которая является центром окружности ω.
б) ∠MOP = ∠MKP как два вписанных угла, опирающиеся на дугу CmM. Следовательно, ∠MKP  =  30°. Но в ΔMPO, где $\angle MPO=90 в степени ( \circ )$

$MP=MO \cdot \sin 30 в степени ( \circ ) =4 \cdot 0,5=2$ $PO=MO \cdot \cos 30 в степени ( \circ ) =2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

В прямоугольном ΔOKM:

$KM=OM \cdot \sin ( 15 в степени ( \circ ) + 30 в степени ( \circ ) ) =2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$OK=OM \cdot \cos ( 15 в степени ( \circ ) + 30 в степени ( \circ ) ) =2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

В четырехугольнике MOPK, вписанном в окружность ω, по теореме Птолемея имеем: $PO \cdot MK=MO \cdot PK + PM \cdot OK$ то есть

$2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента =4 \cdot PK + 2 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента =PK + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно PK= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 )$ $2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента =4 \cdot PK + 2 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента =PK + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно PK= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 )$

$S ( MKP ) = $\frac{1}{2}$ PK \cdot MK \cdot \sin 30 в степени ( \circ ) = $\frac{1}{2}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 ) \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot $\frac{1}{2}$ = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1$

Ответ: $\sqrt{3} - 1$