[рис.] Окружность с центром в O1 будем называть первой окружностью, с центром в O2  — второй окружностью.
а)  У треугольников ABC и ABF общее основание AB. Значит, для равенства площадей надо доказать равенство их высот, опущенных из вершин C и F соответственно. Следовательно, надо доказать параллельность прямых AB и FC: это можно получить, если вывести равенство углов ∠AFC и ∠BAF (накрест лежащие).
Во-первых, во второй окружности углы ∠DBC и ∠DFC равны, так как они опираются на одну и ту же дугу DC.
Во-вторых, угол между касательной к окружности и хордой равен половине дуги, опирающейся на эту хорду. Тогда из первой окружности получим, что $\angleDBC= $\frac{1}{2}$ \angleDO_1B = \angleDAB$ (вписанный угол равен половине центрального). Таким образом, получили, что ∠BAF = ∠AFC, то есть AB || FC, значит, высоты треугольников равны, и их площади совпадают.
Что и требовалось доказать.
б)  Аналогично углам ∠BAD и ∠BDC получаем, что ∠ABD = ∠BCD (угол ∠ABD между касательной ко второй окружности и хордой BD равен углу ∠BCD, опирающемуся на эту хорду). Таким образом, получаем, что ΔABD ~ ΔBCD (по 2 углам). Так как ∠ADB = ∠BDC  =  α, то ∠ADE  =  π − α, ∠CDE  =  π − α, то есть ∠ADE = ∠CDE, откуда следует, что DE  — биссектриса треугольника ADC. Тогда из свойства биссектрисы имеем соотношение

$\frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DC}$

Теперь воспользуемся подобием треугольников ABD и BCD:

$\frac{AD}{BD} = $\frac{BD}{DC}$ = $\frac{AB}{BC}$ \equiv \frac{5}{9}$

Из второго равенства выше выразим BD: $BD = $\frac{5}{9}$ DC$ Подставим это в первое равенство:

$\frac{AD}{BD} = $\frac{5}{9}$ \Rightarrow \frac{AD}{$\frac{5,}{9}$ DC} = $\frac{5}{9}$ = сильно $\frac{AD}{DC}$ = ( $\frac{5}{9}$ ) ^2$

Окончательно получаем, что $\frac{AE}{EC} = $\frac{AD}{DC}$ = \frac{25}{81}$

Ответ: 25 : 81.