Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены диаметры АС и АD этих окружностей.
а) Докажите, что точки D, В и С лежат на одной прямой.
б) Найдите произведение АD ∙ АС, если известно, что АВ = 8, а диаметр окружности, описанной около треугольника АDС, равен 10.
а) Докажите, что точки D, В и С лежат на одной прямой.
б) Найдите произведение АD ∙ АС, если известно, что АВ = 8, а диаметр окружности, описанной около треугольника АDС, равен 10.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Проведем отрезок AB. Заметим, что ∠ ABC = ∠ ABD = 90° как вписанные углы, опирающиеся на диаметры соответствующих окружностей. Но через точку B можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную прямой AB, что и свидетельствует о том, что точки D, В и C лежат на одной прямой.
б) $S ( ACD ) = $\frac{1}{2}$ CD \cdot AB= $\frac{1}{2}$ \cdot 8 \cdot CD=4CD$
Это — с одной стороны.
Но с другой же стороны,
$S ( ACD ) = $\frac{AD \cdot AC \cdot CD}{4R}$ = \frac{AD \cdot AC \cdot CD}{4 \cdot 5}$
Отсюда:
$\frac{AD \cdot AC \cdot CD}{20} =4CD = сильно AD \cdot AC=80$
Ответ: б) 80.
б) $S ( ACD ) = $\frac{1}{2}$ CD \cdot AB= $\frac{1}{2}$ \cdot 8 \cdot CD=4CD$
Это — с одной стороны.
Но с другой же стороны,
$S ( ACD ) = $\frac{AD \cdot AC \cdot CD}{4R}$ = \frac{AD \cdot AC \cdot CD}{4 \cdot 5}$
Отсюда:
$\frac{AD \cdot AC \cdot CD}{20} =4CD = сильно AD \cdot AC=80$
Ответ: б) 80.
Правильный ответ:
б) 80
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66710 • Задание №10
В кубе ABCDA1B1C1D1точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ : В1М = 1 : 3. Через точки М и С1 параллельно BD1 ...
ID 64418 • Задание №1
[рис.] Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...