На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отложены соответственно отрезки $AD= $\frac{1}{3}$ AB$ $BE= $\frac{1}{3}$ BC$ $CF= $\frac{1}{3}$ CA$
а) Докажите, что $S_AMC=S_ANB=S_BKC$ где $M=AE \cap CD,K=CD\cap BF,N=AE\cap BF$
б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.
а) Докажите, что $S_AMC=S_ANB=S_BKC$ где $M=AE \cap CD,K=CD\cap BF,N=AE\cap BF$
б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Напишем теорему Менелая для треугольника ABF и прямой MKC. Получим
$\frac{AD}{DB} \cdot $\frac{BK}{KF}$ \cdot $\frac{FC}{CA}$ =1 = сильно $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{BK}{KF}$ \cdot $\frac{1}{3}$ =1 = сильно $\frac{BK}{KF}$ =6$ [рис.]
Тогда
$S_BKC= $\frac{6}{7}$ S_BFC= $\frac{6}{7}$ \cdot $\frac{1}{3}$ S_ABC= $\frac{2}{7}$ S_ABC$
Аналогично площади остальных треугольников равны $\frac{2}{7} S_ABC$
б) Заметим, что
$S_MNK=S_ABC - S_BKC - S_AMC - S_ANB= ( 1 - 3 \cdot $\frac{2}{7}$ } ) S_ABC= $\frac{1}{7}$ S_ABC$
Ответ: $\frac{1}{7}$
$\frac{AD}{DB} \cdot $\frac{BK}{KF}$ \cdot $\frac{FC}{CA}$ =1 = сильно $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{BK}{KF}$ \cdot $\frac{1}{3}$ =1 = сильно $\frac{BK}{KF}$ =6$ [рис.]
Тогда
$S_BKC= $\frac{6}{7}$ S_BFC= $\frac{6}{7}$ \cdot $\frac{1}{3}$ S_ABC= $\frac{2}{7}$ S_ABC$
Аналогично площади остальных треугольников равны $\frac{2}{7} S_ABC$
б) Заметим, что
$S_MNK=S_ABC - S_BKC - S_AMC - S_ANB= ( 1 - 3 \cdot $\frac{2}{7}$ } ) S_ABC= $\frac{1}{7}$ S_ABC$
Ответ: $\frac{1}{7}$
Правильный ответ:
$дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67609 • Задание №13
а) Решите уравнение $дробь: числитель: 2 синус в квадрате левая круглая скобка \dfrac Пи , знаменатель: 4 кон...
ID 67110 • Задание №12
Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате e в степени...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...