[рис.] а)  Пусть O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, r  — радиус этой окружности, P ∈ BC, M ∈ AC. Соединим О с вершинами треугольника А, В и С.
Докажем, что CMOP  — квадрат.
По свойству касательной к окружности: OP ⊥ BC, OM ⊥ AC. Следовательно, MC || OP, OM || CP, значит, CMOP  — параллелограмм.
CMOP  — параллелограмм, ∠P  =  90°, значит, CMOP  — прямоугольник, CMOP  — прямоугольник, OM  =  OP  =  r, значит, CMOP  — квадрат.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки: BK  =  BP, AK  =  AM, MC  =  CP.

$2S ( ABC ) =AC \cdot BC= ( AM + r ) \cdot ( BP + r ) =AM \cdot BP + BP \cdot r + AM \cdot r + r ^2$ $2S ( ABC ) =AC \cdot BC= ( AM + r ) \cdot ( BP + r ) =$
$=AM \cdot BP + BP \cdot r + AM \cdot r + r ^2$
$AM \cdot BP=AK \cdot BK,BP \cdot r=S ( POKB ) ,BP \cdot r=S ( POKB ) ,r ^2 =S ( CMOP )$ $AM \cdot BP=AK \cdot BK,BP \cdot r=S ( POKB ) ,BP \cdot r=$
$=S ( POKB ) ,r ^2 =S ( CMOP )$ $AM \cdot BP=AK \cdot BK,BP \cdot r=$
$=S ( POKB ) ,BP \cdot r=$
$=S ( POKB ) ,r ^2 =S ( CMOP )$
$2S ( ABC ) =AM \cdot BP + BP \cdot r + AM \cdot r + r ^2 =$
$=AK \cdot BK + S ( POKB ) + S ( AKOM ) + S ( CMOP ) =AK \cdot BK + S ( ABC )$

То есть 2S(ABC)  =  AK · BK + S(ABC), откуда: S(ABC)  =  AK · BK, что и требовалось доказать.
б)  Соединим точки M и K, M и P, P и K отрезками. Найдем r.
Очевидно, что

$p ( ABC ) = $\frac{2AK + 2BK + 2r}{2}$ =AK + BK + r=r + 17.S ( ABC ) =pr= ( r + 17 ) r$ $p ( ABC ) = $\frac{2AK + 2BK + 2r}{2}$ =AK + BK + r=$
$=r + 17.S ( ABC ) =pr= ( r + 17 ) r$

Но как было доказано выше, S(ABC)=AK · BK  =  60. Следовательно,

$r ^2 + 17r=60 = сильно r ^2 + 17r - 60=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка r= - 20 , новая строка r=3 . \end{array} \right.$

Подходит r  =  3.
Пусть ∠BAC  =  α, тогда:

$\angle KOM=180 в степени ( \circ ) - альфа ,\angle ABC=90 в степени ( \circ ) - альфа ,\angle POM=$
$=90 в степени ( \circ ) ,\angle POK=180 в степени ( \circ ) - 90 в степени ( \circ ) + альфа =90 в степени ( \circ ) + альфа$ $\angle KOM=180 в степени ( \circ ) - альфа ,\angle ABC=$
$=90 в степени ( \circ ) - альфа ,\angle POM=90 в степени ( \circ ) ,\angle POK=$
$=180 в степени ( \circ ) - 90 в степени ( \circ ) + альфа =90 в степени ( \circ ) + альфа$

$\sin альфа = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{8}{17}$ ; \cos альфа = $\frac{AC}{AB}$ = \frac{15}{17}$

$S ( PMK ) =S ( POK ) + S ( KOM ) + S ( MOP ) = $\frac{1}{2}$ \cdot 9 \sin ( 90 в степени ( \circ ) + альфа ) + $\frac{1}{2}$ \cdot 9 \sin ( 180 в степени ( \circ ) - альфа ) + $\frac{1}{2}$ \cdot 9=$ $S ( PMK ) =S ( POK ) + S ( KOM ) + S ( MOP ) =$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot 9 \sin ( 90 в степени ( \circ ) + альфа ) + $\frac{1}{2}$ \cdot 9 \sin ( 180 в степени ( \circ ) - альфа ) + $\frac{1}{2}$ \cdot 9=$
$= $\frac{9}{2}$ ( \cos альфа + \sin альфа + 1 ) = $\frac{9}{2}$ ( $\frac{15}{17}$ + $\frac{8}{17}$ + 1 ) = $\frac{9 \cdot 40}{2 \cdot 17}$ = \frac{180}{17}$

Ответ: б) $\frac{180}{17}$