В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3 и BC = 2 проведены медиана CM и биссектриса CL.
а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.
б) Найдите угол MCL.
а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.
б) Найдите угол MCL.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Геометрический способ решения.
а) По теореме Пифагора: $AB= $\sqrt{аргумента: AC}$ аргумента ^2 + BC ^2 = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$
По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, $AM=BM= $\frac{AB}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2}$
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: $\frac{BL}{AL} = $\frac{BC}{AC}$ = \frac{2}{3}$
Если $BL=2k$ то $AL=3k,AB=5k,k= \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{5} ,BL= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{5} ,AL= \frac{3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{5}$ $BL меньше AL$ значит, точка L лежит между M и В.
$ML=BM - BL= \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} - \frac{2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{5} = \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{10}$
Так как треугольники CML и ABC с основаниями ML и AB соответственно имеют равные высоты, проведенные к этим сторонам из их общей вершины С, то:
$\frac{S ( ABC )}{S ( CML )} = $\frac{AB}{ML}$ = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента : \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{10} =10$
что и требовалось доказать.
б) Проведем MD — среднюю линию треугольника ACB. Тогда $MD= $\frac{AC}{2}$ = \frac{3}{2}$
$\angle MCL= \angle MCD - 45 в степени ( \circ ) . \text{tg} \angle MCL= \text{tg} ( \angle MCD - 45 в степени ( \circ ) ) = \frac{\text{tg} \angle MCD - \text{tg} 45 в степени ( \circ )}{1 + \text{tg} \angle MCD \cdot \text{tg} 45 в степени ( \circ )}$ $\angle MCL= \angle MCD - 45 в степени ( \circ ) . \text{tg} \angle MCL=$
$= \text{tg} ( \angle MCD - 45 в степени ( \circ ) ) = \frac{\text{tg} \angle MCD - \text{tg} 45 в степени ( \circ )}{1 + \text{tg} \angle MCD \cdot \text{tg} 45 в степени ( \circ )}$
$\text{tg} \angle MCD= $\frac{MD}{CD}$ = $\frac{3}{2}$ :1= $\frac{3}{2}$ =1,5$
$\text{tg} \angle MCL= $\frac{1,5 - 1}{1 + 1,5 \cdot 1}$ = $\frac{0,5}{2,5}$ = $\frac{1}{5}$ ;\angle MCL= \arctan \frac{1}{5}$
[рис.] Координатно-векторный способ решения.
Поместим заданный треугольник в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты некоторых точек: A(0; 3), B(2; 0).
а) По теореме Пифагора: $AB= $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$
По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:
$AM=BM=M= $\frac{AB}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} .x_M= $\frac{x_A + x_B}{2}$ =1$
$y_M= $\frac{y_A + y_B}{2}$ = $\frac{3}{2}$ =1,5.M ( 1;1,5 )$
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: $\frac{AL}{BL} = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{3}{2}$ =1,5$
Найдем координаты точки L используя формулы деление отрезка в данном отношении $\lambda = $\frac{AL}{BL}$ =1,5$
$x_L= $\frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}$ = $\frac{0 + 1,5 \cdot 2}{1 + 1,5}$ = $\frac{3}{2,5}$ = $\frac{30}{25}$ = $\frac{6}{5}$ ;y_L=$
$= $\frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda}$ = $\frac{3 + 1,5 \cdot 0}{1 + 1,5}$ = $\frac{3}{2,5}$ = $\frac{6}{5}$ .L ( $\frac{6}{5}$ ; $\frac{6}{5}$ )$ $x_L= $\frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}$ = $\frac{0 + 1,5 \cdot 2}{1 + 1,5}$ = $\frac{3}{2,5}$ =$
$= $\frac{30}{25}$ = $\frac{6}{5}$ ;y_L= $\frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda}$ =$
$= $\frac{3 + 1,5 \cdot 0}{1 + 1,5}$ = $\frac{3}{2,5}$ = $\frac{6}{5}$ .L ( $\frac{6}{5}$ ; $\frac{6}{5}$ )$
$CL= \sqrt{аргумента: $\frac{36}{25}$ + $\frac{36}{25}$} аргумента = \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}$
$\overlineCM=\overline ( 1; $\frac{3}{2}$ ) , \overlineCL=\overline ( $\frac{6}{5}$ ; $\frac{6}{5}$ ) . \overlineCM \cdot \overlineCL=1 \cdot $\frac{6}{5}$ + $\frac{3}{2}$ \cdot $\frac{6}{5}$ = $\frac{6}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $\frac{15}{5}$ =3$ $\overlineCM=\overline ( 1; $\frac{3}{2}$ ) , \overlineCL=\overline ( $\frac{6}{5}$ ; $\frac{6}{5}$ ) . \overlineCM \cdot \overlineCL=$
$=1 \cdot $\frac{6}{5}$ + $\frac{3}{2}$ \cdot $\frac{6}{5}$ = $\frac{6}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $\frac{15}{5}$ =3$
$\cos \angle MCL= $\frac{\overlineCM \cdot \overlineCL}{|\overlineCM| \cdot |\overlineCL|}$ = \frac{3}{\frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ,}{2} \cdot \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}} = \frac{30}{6 $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} ; \sin \angle MCL= \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{25}{26}$} аргумента = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента}$ $\cos \angle MCL= $\frac{\overlineCM \cdot \overlineCL}{|\overlineCM| \cdot |\overlineCL|}$ = \frac{3}{\frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ,}{2} \cdot \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}} = \frac{30}{6 $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} =$
$= \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} ; \sin \angle MCL= \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{25}{26}$} аргумента = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента}$ $\cos \angle MCL= $\frac{\overlineCM \cdot \overlineCL}{|\overlineCM| \cdot |\overlineCL|}$ = \frac{3}{\frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ,}{2} \cdot \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}} =$
$= \frac{30}{6 $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} ; \sin \angle MCL=$
$= \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{25}{26}$} аргумента = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента}$
$S ( MCL ) = $\frac{1}{2}$ \cdot CM \cdot CL \cdot \sin \angle MCL= $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \cdot \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5} \cdot \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{3}{10}$
$S ( ABC ) = $\frac{1}{2}$ \cdot AC \cdot BC \cdot =3; $\frac{S ( CML )}{S ( ABC )}$ = $\frac{3}{10}$ :3= \frac{1}{10}$
что и требовалось доказать.
б) $\angle MCL= \arcsin \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента}$
Ответ: б) $\arctan \frac{1}{5}$
а) По теореме Пифагора: $AB= $\sqrt{аргумента: AC}$ аргумента ^2 + BC ^2 = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$
По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, $AM=BM= $\frac{AB}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2}$
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: $\frac{BL}{AL} = $\frac{BC}{AC}$ = \frac{2}{3}$
Если $BL=2k$ то $AL=3k,AB=5k,k= \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{5} ,BL= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{5} ,AL= \frac{3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{5}$ $BL меньше AL$ значит, точка L лежит между M и В.
$ML=BM - BL= \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} - \frac{2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{5} = \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{10}$
Так как треугольники CML и ABC с основаниями ML и AB соответственно имеют равные высоты, проведенные к этим сторонам из их общей вершины С, то:
$\frac{S ( ABC )}{S ( CML )} = $\frac{AB}{ML}$ = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента : \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{10} =10$
что и требовалось доказать.
б) Проведем MD — среднюю линию треугольника ACB. Тогда $MD= $\frac{AC}{2}$ = \frac{3}{2}$
$\angle MCL= \angle MCD - 45 в степени ( \circ ) . \text{tg} \angle MCL= \text{tg} ( \angle MCD - 45 в степени ( \circ ) ) = \frac{\text{tg} \angle MCD - \text{tg} 45 в степени ( \circ )}{1 + \text{tg} \angle MCD \cdot \text{tg} 45 в степени ( \circ )}$ $\angle MCL= \angle MCD - 45 в степени ( \circ ) . \text{tg} \angle MCL=$
$= \text{tg} ( \angle MCD - 45 в степени ( \circ ) ) = \frac{\text{tg} \angle MCD - \text{tg} 45 в степени ( \circ )}{1 + \text{tg} \angle MCD \cdot \text{tg} 45 в степени ( \circ )}$
$\text{tg} \angle MCD= $\frac{MD}{CD}$ = $\frac{3}{2}$ :1= $\frac{3}{2}$ =1,5$
$\text{tg} \angle MCL= $\frac{1,5 - 1}{1 + 1,5 \cdot 1}$ = $\frac{0,5}{2,5}$ = $\frac{1}{5}$ ;\angle MCL= \arctan \frac{1}{5}$
[рис.] Координатно-векторный способ решения.
Поместим заданный треугольник в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты некоторых точек: A(0; 3), B(2; 0).
а) По теореме Пифагора: $AB= $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$
По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:
$AM=BM=M= $\frac{AB}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} .x_M= $\frac{x_A + x_B}{2}$ =1$
$y_M= $\frac{y_A + y_B}{2}$ = $\frac{3}{2}$ =1,5.M ( 1;1,5 )$
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: $\frac{AL}{BL} = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{3}{2}$ =1,5$
Найдем координаты точки L используя формулы деление отрезка в данном отношении $\lambda = $\frac{AL}{BL}$ =1,5$
$x_L= $\frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}$ = $\frac{0 + 1,5 \cdot 2}{1 + 1,5}$ = $\frac{3}{2,5}$ = $\frac{30}{25}$ = $\frac{6}{5}$ ;y_L=$
$= $\frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda}$ = $\frac{3 + 1,5 \cdot 0}{1 + 1,5}$ = $\frac{3}{2,5}$ = $\frac{6}{5}$ .L ( $\frac{6}{5}$ ; $\frac{6}{5}$ )$ $x_L= $\frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}$ = $\frac{0 + 1,5 \cdot 2}{1 + 1,5}$ = $\frac{3}{2,5}$ =$
$= $\frac{30}{25}$ = $\frac{6}{5}$ ;y_L= $\frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda}$ =$
$= $\frac{3 + 1,5 \cdot 0}{1 + 1,5}$ = $\frac{3}{2,5}$ = $\frac{6}{5}$ .L ( $\frac{6}{5}$ ; $\frac{6}{5}$ )$
$CL= \sqrt{аргумента: $\frac{36}{25}$ + $\frac{36}{25}$} аргумента = \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}$
$\overlineCM=\overline ( 1; $\frac{3}{2}$ ) , \overlineCL=\overline ( $\frac{6}{5}$ ; $\frac{6}{5}$ ) . \overlineCM \cdot \overlineCL=1 \cdot $\frac{6}{5}$ + $\frac{3}{2}$ \cdot $\frac{6}{5}$ = $\frac{6}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $\frac{15}{5}$ =3$ $\overlineCM=\overline ( 1; $\frac{3}{2}$ ) , \overlineCL=\overline ( $\frac{6}{5}$ ; $\frac{6}{5}$ ) . \overlineCM \cdot \overlineCL=$
$=1 \cdot $\frac{6}{5}$ + $\frac{3}{2}$ \cdot $\frac{6}{5}$ = $\frac{6}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $\frac{15}{5}$ =3$
$\cos \angle MCL= $\frac{\overlineCM \cdot \overlineCL}{|\overlineCM| \cdot |\overlineCL|}$ = \frac{3}{\frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ,}{2} \cdot \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}} = \frac{30}{6 $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} ; \sin \angle MCL= \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{25}{26}$} аргумента = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента}$ $\cos \angle MCL= $\frac{\overlineCM \cdot \overlineCL}{|\overlineCM| \cdot |\overlineCL|}$ = \frac{3}{\frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ,}{2} \cdot \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}} = \frac{30}{6 $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} =$
$= \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} ; \sin \angle MCL= \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{25}{26}$} аргумента = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента}$ $\cos \angle MCL= $\frac{\overlineCM \cdot \overlineCL}{|\overlineCM| \cdot |\overlineCL|}$ = \frac{3}{\frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента ,}{2} \cdot \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}} =$
$= \frac{30}{6 $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} ; \sin \angle MCL=$
$= \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{25}{26}$} аргумента = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента}$
$S ( MCL ) = $\frac{1}{2}$ \cdot CM \cdot CL \cdot \sin \angle MCL= $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \cdot \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5} \cdot \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{3}{10}$
$S ( ABC ) = $\frac{1}{2}$ \cdot AC \cdot BC \cdot =3; $\frac{S ( CML )}{S ( ABC )}$ = $\frac{3}{10}$ :3= \frac{1}{10}$
что и требовалось доказать.
б) $\angle MCL= \arcsin \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента}$
Ответ: б) $\arctan \frac{1}{5}$
Правильный ответ:
б) $арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64727 • Задание №3
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер $AB=8$ $AD=6$ $AA_1=21$ Найдите синус ...
ID 68637 • Задание №15
Решите неравенство $дробь: числитель: x в кубе плюс 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...