[рис.] а)  Найдём \cos угла A

$\cos A= $\sqrt{аргумента: 1 - \sin }$ аргумента ^2 A= \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{9}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{8}{9}$} аргумента = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{3}$

Если $AB=c$ то $AC=AB \cos A= \frac{2c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{3}$
Прямоугольные треугольники ACB и AHK, имеющие общий острый угол A, подобны. Отсюда: $\frac{AB}{AK} = $\frac{AC}{AH}$ =k$ Кроме того, $\frac{S ( ACB )}{S ( AHK )} =k ^2$ Но по условию задачи известно, что $\frac{S ( ACB )}{S ( AHK )} =2$ значит, $k ^2 =2,k= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ Тогда: $AC= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента AH;AB= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента AK$
Далее: $\sqrt{аргумента: 2} аргумента AH=AC= \frac{2c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{3} ;AH= $\frac{2c}{3}$ ;BH=AB - AH= \frac{c}{3}$
В Δ ACB: $BC=AB \cdot \sin A= \frac{c}{3}$ Итак, $BH=BC$

$AB= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot AK,AB=c,c=AK $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ;AK= \frac{c}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = \frac{c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$ $KC=AC - AK= \frac{2c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{3} - \frac{c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} = \frac{4c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 3c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{6} = \frac{c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{6}$

В Δ AHK: $KH=AK \cdot \sin A= \frac{c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{6}$ Значит, $KC=KH$
В четырехугольнике KHBC: BC  =  BH, KH  =  KC, BC + KH  =  BH + KC откуда в четырехугольник KHBC можно вписать окружность.
б)  Известно: KH  =  1. Было получено: $KH= \frac{c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{6}$ значит: $c $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента =6;c= \frac{6}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} =3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

$BH= $\frac{c}{3}$ = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{3} = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента .p ( KHBC ) =BH + KH= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 1$
$S ( KHBC ) =S ( AHK ) = $\frac{KH \cdot AH}{2}$ = \frac{2 \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2 \cdot 3} = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$r= $\frac{S ( KHBC )}{p}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 1} =2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Ответ: б) $2 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$