а)  Поскольку $\omega_2$ проходит через точку B, достаточно доказать, что прямая $O_2B$ перпендикулярна прямой $O_1B$ Пусть стороны прямоугольника равны $AB=2a$ $BC=2b$ $b больше или = a$ Тогда:

$R_ABO= $\frac{AB \cdot AO \cdot BO}{4S_ABO}$ = $\frac{AB \cdot AO ^2}{S_ABCD}$ = $\frac{2a \cdot 14 AC ^2}{4ab}$ = \frac{a ^2 + b ^2}{2b}$

Поэтому:

$\cos \angle O_1BA= \frac{$\frac{1}{2}$ AB,}{O_1B} = \frac{2ab}{a ^2 + b ^2}$

Для другой окружности ответ будет таким же, но там этот угол находится снаружи прямоугольника. Поэтому:

$\angle O_2BO_1=\angle O_2BC + \angle CBA - \angle O_1BA=\angle CBA=90 в степени ( \circ )$

что и требовалось. Утверждение про вторую окружность, очевидно, требует той же самой перпендикулярности, поэтому тоже доказано.
[рис.]
б)  Теперь найдём длину отрезка $O_1O_2:$

$O_1O_2= $\sqrt{аргумента: O_1B ^2 + O_2B ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{( a ^2 + b ^2 ) ^2}{4b ^2}$ + $\frac{( a ^2 + b ^2 ) ^2}{4a ^2}$} аргумента = $\frac{a ^2 + b ^2}{2}$ \sqrt{аргумента: $\frac{a ^2 + b ^2}{a ^2 b ^2}$} аргумента$ $O_1O_2= $\sqrt{аргумента: O_1B ^2 + O_2B ^2}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{( a ^2 + b ^2 ) ^2}{4b ^2}$ + $\frac{( a ^2 + b ^2 ) ^2}{4a ^2}$} аргумента = $\frac{a ^2 + b ^2}{2}$ \sqrt{аргумента: $\frac{a ^2 + b ^2}{a ^2 b ^2}$} аргумента$

В нашем случае $a=3$ $b=4$ получаем:

$\frac{25}{2} \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{25}{144}$} аргумента = \frac{125}{24}$

Ответ: $\frac{125}{24}$