В окружность с центром О вписан треугольник ABC $( \angle A больше $\frac{\pi}{2}$ )$ Продолжение биссектрисы AF угла A этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус AO пересекает сторону BC в точке E. Пусть AH — высота треугольника ABC. Известно, что $AL=4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ $AH= \sqrt{аргумента: 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента$ $\angle AEH= \frac{\pi}{3}$
а) Докажите, что AF — биссектриса угла EAH.
б) Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырехугольника OEFL.
а) Докажите, что AF — биссектриса угла EAH.
б) Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырехугольника OEFL.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Обозначим $\angle HAC= альфа$ Тогда
$\angle ACH=90 в степени ( \circ ) - альфа$
$\angle AOB=2\angle ACB=180 в степени ( \circ ) - 2 альфа$
по теореме о вписанном угле. Поскольку треугольник ABO = бедренный,
$\angle BAO= $\frac{180 в степени ( \circ ) - \angle AOB}{2}$ = альфа =\angle HAC$
Значит
$\angle EAF=\angle FAB - \angle EAB=\angle FAC - \angle HAC=\angle FAH$
поэтому AF — биссектриса угла EAH.
б) Поскольку
$\angle EAH=180 в степени ( \circ ) - \angle AHE - \angle AEH=180 в степени ( \circ ) - 90 в степени ( \circ ) - 60 в степени ( \circ ) =30 в степени ( \circ )$
поэтому $\angle EAF= $\frac{1}{2}$ \angle EAH=15 в степени ( \circ )$ Треугольник AOL — = бедренный, поэтому $\angle LOA=150 в степени ( \circ )$ По теореме \sin ов для треугольника AOL получаем $\frac{R}{\sin 15 в степени ( \circ )} = \frac{AL}{\sin 150 в степени ( \circ )}$ откуда $R=8 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin 15 в степени ( \circ )$ Площадь AOL равна
$\frac{1}{2} R ^2 \sin 150 в степени ( \circ ) =32 \sin ^2 15 в степени ( \circ )$
В треугольнике AEH имеем
$AE= $\frac{AH}{\sin \angle AEH}$ = \frac{\sqrt{аргумента: 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента}{\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ,}{2}} = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$
$EH= $\frac{1}{2}$ AE= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$
Из треугольника AFH имеем
$FH=AH \text{tg} 15 в степени ( \circ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента \text{tg} 15 в степени ( \circ )$
поэтому
$EF= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента} - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента \text{tg} 15 в степени ( \circ )$
Значит,
$S_EFA= $\frac{1}{2}$ EF \cdot AH= $\frac{1}{2}$ ( \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента} - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента \text{tg} 15 в степени ( \circ ) ) $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента$
$S_OEFL:S_AOL=1 - S_AEF:S_AOL=1 - \frac{$\frac{1}{2}$ ( \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента} - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента \text{tg} 15 в степени ( \circ ) ) $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,}{32 \sin ^2 15 в степени ( \circ )} =$
$=1 - \frac{2 - 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \text{tg} 15 в степени ( \circ )}{64 \sin ^2 15 в степени ( \circ )} = 1 - \frac{2 \cos 15 в степени ( \circ ) - 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin 15 в степени ( \circ )}{64 \cos 15 в степени ( \circ ) \sin ^2 15 в степени ( \circ )} =$
$=1 - \frac{$\frac{1}{2}$ \cdot \cos 15 в степени ( \circ ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin 15 в степени ( \circ ) ,}{16 \cos 15 в степени ( \circ ) \sin 15 в степени ( \circ ) \cdot \sin 15 в степени ( \circ )} =1 - $\frac{\sin 30 в степени ( \circ ) \cos 15 в степени ( \circ ) - \cos 30 в степени ( \circ ) \sin 15 в степени ( \circ )}{8 \sin 30 в степени ( \circ ) \cdot \sin 15 в степени ( \circ )}$ =$ $=1 - \frac{$\frac{1}{2}$ \cdot \cos 15 в степени ( \circ ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin 15 в степени ( \circ ) ,}{16 \cos 15 в степени ( \circ ) \sin 15 в степени ( \circ ) \cdot \sin 15 в степени ( \circ )} =$
$=1 - $\frac{\sin 30 в степени ( \circ ) \cos 15 в степени ( \circ ) - \cos 30 в степени ( \circ ) \sin 15 в степени ( \circ )}{8 \sin 30 в степени ( \circ ) \cdot \sin 15 в степени ( \circ )}$ =$
$=1 - $\frac{\sin ( 30 в степени ( \circ ) - 15 в степени ( \circ ) )}{8 \sin 30 в степени ( \circ ) \cdot \sin 15 в степени ( \circ )}$ = 1 - $\frac{\sin 15 в степени ( \circ )}{4 \cdot \sin 15 в степени ( \circ )}$ =1 - $\frac{1}{4}$ = \frac{3}{4}$
Значит, $S_AOL:S_OEFL= \frac{4}{3}$
Ответ: б) $\frac{4}{3}$
$\angle ACH=90 в степени ( \circ ) - альфа$
$\angle AOB=2\angle ACB=180 в степени ( \circ ) - 2 альфа$
по теореме о вписанном угле. Поскольку треугольник ABO = бедренный,
$\angle BAO= $\frac{180 в степени ( \circ ) - \angle AOB}{2}$ = альфа =\angle HAC$
Значит
$\angle EAF=\angle FAB - \angle EAB=\angle FAC - \angle HAC=\angle FAH$
поэтому AF — биссектриса угла EAH.
б) Поскольку
$\angle EAH=180 в степени ( \circ ) - \angle AHE - \angle AEH=180 в степени ( \circ ) - 90 в степени ( \circ ) - 60 в степени ( \circ ) =30 в степени ( \circ )$
поэтому $\angle EAF= $\frac{1}{2}$ \angle EAH=15 в степени ( \circ )$ Треугольник AOL — = бедренный, поэтому $\angle LOA=150 в степени ( \circ )$ По теореме \sin ов для треугольника AOL получаем $\frac{R}{\sin 15 в степени ( \circ )} = \frac{AL}{\sin 150 в степени ( \circ )}$ откуда $R=8 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin 15 в степени ( \circ )$ Площадь AOL равна
$\frac{1}{2} R ^2 \sin 150 в степени ( \circ ) =32 \sin ^2 15 в степени ( \circ )$
В треугольнике AEH имеем
$AE= $\frac{AH}{\sin \angle AEH}$ = \frac{\sqrt{аргумента: 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента}{\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ,}{2}} = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$
$EH= $\frac{1}{2}$ AE= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$
Из треугольника AFH имеем
$FH=AH \text{tg} 15 в степени ( \circ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента \text{tg} 15 в степени ( \circ )$
поэтому
$EF= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента} - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента \text{tg} 15 в степени ( \circ )$
Значит,
$S_EFA= $\frac{1}{2}$ EF \cdot AH= $\frac{1}{2}$ ( \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента} - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента \text{tg} 15 в степени ( \circ ) ) $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента$
$S_OEFL:S_AOL=1 - S_AEF:S_AOL=1 - \frac{$\frac{1}{2}$ ( \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента} - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента \text{tg} 15 в степени ( \circ ) ) $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,}{32 \sin ^2 15 в степени ( \circ )} =$
$=1 - \frac{2 - 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \text{tg} 15 в степени ( \circ )}{64 \sin ^2 15 в степени ( \circ )} = 1 - \frac{2 \cos 15 в степени ( \circ ) - 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \sin 15 в степени ( \circ )}{64 \cos 15 в степени ( \circ ) \sin ^2 15 в степени ( \circ )} =$
$=1 - \frac{$\frac{1}{2}$ \cdot \cos 15 в степени ( \circ ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin 15 в степени ( \circ ) ,}{16 \cos 15 в степени ( \circ ) \sin 15 в степени ( \circ ) \cdot \sin 15 в степени ( \circ )} =1 - $\frac{\sin 30 в степени ( \circ ) \cos 15 в степени ( \circ ) - \cos 30 в степени ( \circ ) \sin 15 в степени ( \circ )}{8 \sin 30 в степени ( \circ ) \cdot \sin 15 в степени ( \circ )}$ =$ $=1 - \frac{$\frac{1}{2}$ \cdot \cos 15 в степени ( \circ ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin 15 в степени ( \circ ) ,}{16 \cos 15 в степени ( \circ ) \sin 15 в степени ( \circ ) \cdot \sin 15 в степени ( \circ )} =$
$=1 - $\frac{\sin 30 в степени ( \circ ) \cos 15 в степени ( \circ ) - \cos 30 в степени ( \circ ) \sin 15 в степени ( \circ )}{8 \sin 30 в степени ( \circ ) \cdot \sin 15 в степени ( \circ )}$ =$
$=1 - $\frac{\sin ( 30 в степени ( \circ ) - 15 в степени ( \circ ) )}{8 \sin 30 в степени ( \circ ) \cdot \sin 15 в степени ( \circ )}$ = 1 - $\frac{\sin 15 в степени ( \circ )}{4 \cdot \sin 15 в степени ( \circ )}$ =1 - $\frac{1}{4}$ = \frac{3}{4}$
Значит, $S_AOL:S_OEFL= \frac{4}{3}$
Ответ: б) $\frac{4}{3}$
Правильный ответ:
б) $дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70125 • Задание №17
В трапеции ABCD известно, что $\angle ABD = \angle ACD =90 градусов$
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите ...
ID 64616 • Задание №2
Стоимость полугодовой подписки на журнал составляет 460 рублей, а стоимость одного номера журнала — 24 рубля....
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...