[рис.] Треугольники ACB и NCM подобны по двум углам с коэффициентом $AB:MN=3$ поэтому

$2=S_ABNM=S_ABC - S_MNC=S_ABC - $\frac{1}{9}$ S_ABC= $\frac{8}{9}$ S_ABC$

Отсюда $S_ABC= \frac{9}{4}$ Обозначим стороны треугольника $AC=b$ $BC=a$ Тогда

$S_ABC= $\frac{1}{2}$ ab \cdot \sin \angle ACB= $\frac{3}{10}$ ab$

откуда $ab= \frac{15}{2}$ По теореме \cos ов для треугольника ABC в то же время имеем

$9=a ^2 + b ^2 - 2ab \cos \angle ACB=a ^2 + b ^2 - 2 \cdot $\frac{15}{2}$ \cdot \frac{4}{5}$

откуда $a ^2 + b ^2 =21$ поэтому $( a + b ) ^2 =a ^2 + b ^2 + 2ab=36$ и $a + b=6$ Значит, a и b являются корнями квадратного уравнения $t ^2 - 6t + $\frac{15}{2}$ =0$ (теорема Виета), поэтому они равны $3\pm \sqrt{аргумента: $\frac{3}{2}$} аргумента$ Будем считать, что $AC больше BC$ тогда

$b=3 + \sqrt{аргумента: $\frac{3}{2}$} аргумента , a=3 - \sqrt{аргумента: $\frac{3}{2}$} аргумента$

а)  Найдем высоту треугольника ACB и уменьшим ее втрое. Имеем:

$h_c= $\frac{2S_ABC}{AB}$ = $\frac{9}{2 \cdot 3}$ = \frac{3}{2}$

поэтому ответ $\frac{1}{2}$
б)  Обозначим $KM=x$ $LN=y$ Из подобия, кроме того, $MC= $\frac{1}{3}$ a$ $NC= $\frac{1}{3}$ b$ $MA=b - $\frac{1}{3}$ a$ $NB=a - $\frac{1}{3}$ b$ По свойству пересекающихся хорд имеем $KM \cdot MN=CM \cdot MA$ и $KL \cdot LN=CL \cdot LB$ Далее:

$x ( 1 + y ) = $\frac{1}{3}$ a ( b - $\frac{1}{3}$ a )$ и $y ( 1 + x ) = $\frac{1}{3}$ b ( a - $\frac{1}{3}$ b )$

Складывая эти уравнения, получим:

$2xy + x + y= $\frac{2}{3}$ ab - $\frac{1}{9}$ ( a ^2 + b ^2 ) = \frac{8}{3}$

Вычитая, получим:

$x - y= $\frac{1}{9}$ ( b ^2 - a ^2 ) = $\frac{1}{9}$ ( a + b ) ( b - a ) = $\frac{2}{3}$ ( b - a ) = $\frac{4}{3}$ \sqrt{аргумента: $\frac{3}{2}$} аргумента = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$

Следовательно $x ^2 - 2xy + y ^2 = \frac{8}{3}$ Прибавляя к этому уравнению удвоенное уравнение $2xy + x + y= \frac{8}{3}$ получим:

$x ^2 + y ^2 + 2xy + 2x + 2y=8 = сильно ( x + y ) ^2 + 2 ( x + y ) =8 = сильно ( x + y + 1 ) ^2 =9$ $x ^2 + y ^2 + 2xy + 2x + 2y=8 = сильно$
$ = сильно ( x + y ) ^2 + 2 ( x + y ) =8 = сильно ( x + y + 1 ) ^2 =9$
$KL=x + y + 1=3$

Значит,

$S_KCN= $\frac{1}{2}$ KN \cdot d ( C,KN ) = $\frac{1}{2}$ \cdot 3 \cdot $\frac{1}{2}$ = \frac{3}{4}$

Ответ: а) $\frac{1}{2}$ б) $\frac{3}{4}$