В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке P. Известно, что АС = 26, DE = 10.
а) Найдите отношение радиусов окружностей, вписанных в треугольники DEP и ACP.
б) Найдите расстояние между серединами отрезков АС и DE.
а) Найдите отношение радиусов окружностей, вписанных в треугольники DEP и ACP.
б) Найдите расстояние между серединами отрезков АС и DE.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Рассмотрим окружность, построенную на AC как на диаметре. Углы AEC и ADC равны 90°, следовательно, E и D лежат на этой окружности. Углы EDA и ECA равны как вписанные, значит, треугольники EDP и APC подобным по двум углам. Коэффициент подобия равен $\frac{ED}{AC} = \frac{5}{13}$ значит, и отношение радиусов = 5 : 13.
б) Пусть M — середина ED, N — середина AC, AC — диаметр окружности, проходящей через E и D. Тогда
$NE=ND= $\frac{AC}{2}$ =13$
следовательно, треугольнике NED — = бедренный, NM — медиана и высота.
Тогда
$MN ^2 ={13 ^2 - 5 ^2 =12 ^2$
откуда $MN=12$
Ответ: а) 5 : 13, б) 12.
б) Пусть M — середина ED, N — середина AC, AC — диаметр окружности, проходящей через E и D. Тогда
$NE=ND= $\frac{AC}{2}$ =13$
следовательно, треугольнике NED — = бедренный, NM — медиана и высота.
Тогда
$MN ^2 ={13 ^2 - 5 ^2 =12 ^2$
откуда $MN=12$
Ответ: а) 5 : 13, б) 12.
Правильный ответ:
а) 5 : 13, б) 12
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67200 • Задание №12
Решите неравенство $дробь: числитель: 6 минус 3x плюс корень из: начало аргумента: 2x конец аргумента в квадра...
ID 68982 • Задание №15
Решите неравенство $дробь: числитель: 54 в степени x умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумент...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...