31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Пусть S — сумма кредита. Обозначим ежегодные платежи $A_1$ и $A_2$ соответственно. Сумма долга каждый год увеличивается на $a\%$ то есть сумма долга умножается на коэффициент $b=1 + 0,01a$ После первой выплаты сумма долга станет = й $S_1=Sb - A_1$ после второй выплаты: $S_2= ( Sb - A_1 ) b - A_1$ после третье выплаты: $S_3= ( ( Sb - A_1 ) b - A_1 ) b - A_1$ после четвёртой выплаты: $S_4= ( ( ( Sb - A_1 ) b - A_1 ) b - A_1 ) b - A_1$ Причём долг будет погашен полностью, получаем, то есть $( ( ( Sb - A_1 ) b - A_1 ) b - A_1 ) b - A_1=0$ Аналогично получаем уравнение для случая, когда выплаты совершаются платежами размером $A_2:$ $S_2'= ( Sb - A_2 ) b - A_2$ Имеем систему уравнений:
$$$\begin{cases} новая строка Sb в степени 4 - A_1b ^3 - A_1b ^2 - A_1b - A_1=0 \\[6pt] новая строка Sb ^2 - A_2b - A_2=0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка Sb ^2 \cdot b ^2 - A_1b ^3 - A_1b ^2 - A_1b - A_1=0 \\[6pt] новая строка Sb ^2 =A_2b + A_2. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка Sb в степени 4 - A_1b ^3 - A_1b ^2 - A_1b - A_1=0 \\[6pt] новая строка Sb ^2 - A_2b - A_2=0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка Sb ^2 \cdot b ^2 - A_1b ^3 - A_1b ^2 - A_1b - A_1=0 \\[6pt] новая строка Sb ^2 =A_2b + A_2. \end{cases}$$$
Подставим выражение для $Sb ^2$ в первое уравнение: $( A_2 + A_2b ) \cdot b ^2 - A_1b ^3 - A_1b ^2 - A_1b - A_1=0$ Преобразуем это уравнение:
$( A_2 - A_1 ) b ^3 + ( A_2 - A_1 ) b ^2 - A_1b - A_1=0 = сильно b ^2 ( A_2 - A_1 ) ( b + 1 ) - A_1 ( b + 1 ) =0$ $( A_2 - A_1 ) b ^3 + ( A_2 - A_1 ) b ^2 - A_1b - A_1=0 = сильно$
$ = сильно b ^2 ( A_2 - A_1 ) ( b + 1 ) - A_1 ( b + 1 ) =0$
$ = сильно ( b + 1 ) ( ( A_2 - A_1 ) b ^2 - A_1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка b= - 1, новая строка b ^2 = $\frac{A_1}{A_2 - A_1}$ . \end{array} \right.$
Подставляя числовые значения получаем:
$\left[ \begin{array}{l} новая строка b= - 1, новая строка b= - 1,2, новая строка b=1,2. \end{array} \right.$
Отрицательные корни не подходят по условию задачи, значит, $b=1,2$ откуда $a=20$ то есть Пётр взял деньги в банке под 20%.
Ответ: 20%.
$$$\begin{cases} новая строка Sb в степени 4 - A_1b ^3 - A_1b ^2 - A_1b - A_1=0 \\[6pt] новая строка Sb ^2 - A_2b - A_2=0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка Sb ^2 \cdot b ^2 - A_1b ^3 - A_1b ^2 - A_1b - A_1=0 \\[6pt] новая строка Sb ^2 =A_2b + A_2. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка Sb в степени 4 - A_1b ^3 - A_1b ^2 - A_1b - A_1=0 \\[6pt] новая строка Sb ^2 - A_2b - A_2=0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка Sb ^2 \cdot b ^2 - A_1b ^3 - A_1b ^2 - A_1b - A_1=0 \\[6pt] новая строка Sb ^2 =A_2b + A_2. \end{cases}$$$
Подставим выражение для $Sb ^2$ в первое уравнение: $( A_2 + A_2b ) \cdot b ^2 - A_1b ^3 - A_1b ^2 - A_1b - A_1=0$ Преобразуем это уравнение:
$( A_2 - A_1 ) b ^3 + ( A_2 - A_1 ) b ^2 - A_1b - A_1=0 = сильно b ^2 ( A_2 - A_1 ) ( b + 1 ) - A_1 ( b + 1 ) =0$ $( A_2 - A_1 ) b ^3 + ( A_2 - A_1 ) b ^2 - A_1b - A_1=0 = сильно$
$ = сильно b ^2 ( A_2 - A_1 ) ( b + 1 ) - A_1 ( b + 1 ) =0$
$ = сильно ( b + 1 ) ( ( A_2 - A_1 ) b ^2 - A_1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка b= - 1, новая строка b ^2 = $\frac{A_1}{A_2 - A_1}$ . \end{array} \right.$
Подставляя числовые значения получаем:
$\left[ \begin{array}{l} новая строка b= - 1, новая строка b= - 1,2, новая строка b=1,2. \end{array} \right.$
Отрицательные корни не подходят по условию задачи, значит, $b=1,2$ откуда $a=20$ то есть Пётр взял деньги в банке под 20%.
Ответ: 20%.
Правильный ответ:
20%
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65088 • Задание №4
Для подтверждения скидки магазин отправляет покупателю на телефон сообщение с трёхзначным кодом, ровно две из ...
ID 64979 • Задание №3
Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса....
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...