Обозначим начальную цену пакета акций $S=160000$  рублей, ежемесячный повышающий коэффициент стоимости пакета акций $k=1,25$ и пусть ежемесячно откладываемая сумма составляет a рублей. Тогда в конце $( n - 1 )$ -⁠го месяца пакет акций будет стоить не больше $S k в степени ( n - 1 )$  рублей. К середине n-⁠го месяца Сергей накопит сумму an рублей. Чтобы иметь возможность купить этот пакет акций во второй половине n-⁠го месяца необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

$a n больше или = S k в степени ( n - 1 ) = сильно a больше или = \frac{S k в степени ( n - 1 )}{n}$

Минимальное значение будет соответствовать равенству $a= \frac{S k в степени ( n - 1 )}{n}$
Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{S k в степени ( n - 1 )}{n}$ и найдем наименьший член этой последовательности. Для этого исследуем, как меняется частное двух соседних членов последовательности в зависимости от n:

$\frac{a_n + 1}{a_n} = $\frac{S k в степени n}{n + 1}$ : $\frac{Sk в степени ( n - 1}{)}$ n = k \cdot \frac{n}{} n + 1 = $\frac{5}{4}$ ( 1 - \frac{1}{} n + 1 )$

Полученное выражение монотонно возрастает с ростом n, оно меньше 1 при $n меньше 4$ = 1 при $n=4$ и больше 1 при $n больше 4$ Это означает, что наименьшим членом последовательности является $a_4$ а потому искомая наименьшая сумма равна

$\frac{S k в степени ( 4 - 1 )}{4} = \frac{160000 \cdot ( $\frac{5}{4}$ ) ^3 ,}{4} = $\frac{40000 \cdot 5 ^3}{4 ^3}$ = $\frac{10000 \cdot 125}{16}$ =25 \cdot 25 \cdot 125=78125$  рублей.

Ответ: 78 125 рублей.

Примечание.
Чтобы найти наименьшее значение суммы, можно было рассмотреть не частное, а разность последовательных сумм:

$a_n - a_n + 1= $\frac{S k в степени ( n - 1 )}{n}$ - $\frac{Sk в степени ( n )}{n + 1}$ = $\frac{( n + 1 ) S k в степени ( n - 1 ) - n S k в степени ( n )}{n ( n + 1 )}$ = $\frac{S k в степени ( n - 1 ) ( n + 1 - nk )}{n ( n + 1 )}$ = \frac{S k в степени ( n - 1 ) ( n ( 1 - k ) + 1 )}{n ( n + 1 )}$ $a_n - a_n + 1= $\frac{S k в степени ( n - 1 )}{n}$ - $\frac{Sk в степени ( n )}{n + 1}$ = $\frac{( n + 1 ) S k в степени ( n - 1 ) - n S k в степени ( n )}{n ( n + 1 )}$ =$
$= $\frac{S k в степени ( n - 1 ) ( n + 1 - nk )}{n ( n + 1 )}$ = \frac{S k в степени ( n - 1 ) ( n ( 1 - k ) + 1 )}{n ( n + 1 )}$ $a_n - a_n + 1= $\frac{S k в степени ( n - 1 )}{n}$ - $\frac{Sk в степени ( n )}{n + 1}$ =$
$= $\frac{( n + 1 ) S k в степени ( n - 1 ) - n S k в степени ( n )}{n ( n + 1 )}$ = $\frac{S k в степени ( n - 1 ) ( n + 1 - nk )}{n ( n + 1 )}$ =$
$= \frac{S k в степени ( n - 1 ) ( n ( 1 - k ) + 1 )}{n ( n + 1 )}$

Знак разности $a_n - a_n + 1$ совпадает со знаком выражения $n ( 1 - k ) + 1$ которое при подстановке $k=1,25$ принимает вид $ - 0,25n + 1$ Это выражение положительно при $n меньше 4$ = нулю при $n=4$ и отрицательно при $n больше 4$ Это означает, что

$a_1 больше a_2 больше a_3 больше a_4=a_5 меньше a_6 меньше a_7... меньше a_n$

Значит, наименьшая сумма, которую необходимо ежемесячно откладывать, равна

$a_4= $\frac{S k в степени ( 4 - 1 )}{4}$ = \frac{160000 \cdot ( $\frac{5}{4}$ ) ^3 ,}{4} = $\frac{40000 \cdot 5 ^3}{4 ^3}$ = $\frac{10000 \cdot 125}{16}$ =25 \cdot 25 \cdot 125=78125$  рублей.