Всеволод и Александра в один день открыли в банке по вкладу на сумму 1 млн руб. с возможностью частичного снятия средств. Вместо выплаты процентов в конце очередного месяца банк увеличивал размер вклада на некоторую фиксированную сумму, но только в том случае, если клиент в течение данного месяца не снимал деньги со счета. Кроме того, Всеволод попал под условия бонусной акции, поэтому его ежемесячная прибавка оказалась выше, чем у Александры. Когда вклад Всеволода достиг суммы 1,2 млн руб., он каждый месяц с марта по август 2019 года снимал со счета по 25 тыс. руб., а вклад Александры продолжал ежемесячно расти. В конце июля 2019 года суммы на вкладах оказались одинаковыми, а спустя некоторое время сравнялись повторно. Определите размер вкладов Всеволода и Александры, когда они сравнялись повторно, если после августа деньги со счетов не снимались.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Введём следующие обозначения:
n — число месяцев от момента открытия вклада до марта 2019 года;
x — сумма в тыс. руб., на которую банк увеличивает вклад Всеволода;
k — число месяцев от августа 2019 года до повторного равенства сумм вкладов;
y — сумма в тыс. руб., на которую банк увеличивает вклад Александры.
Тогда выполняются следующие условия:
через n месяцев сумма на счете Всеволода равна 1200 тыс. руб.: $1000 + nx=1200$
через $( n + 5 )$ месяцев, в июле 2019 года, суммы на вкладах равны: $1000 + ( n + 5 ) y=1200 - 5 \cdot 25$
через k месяцев после августа 2019 года суммы повторно равны: $1200 - 5 \cdot 25 - 25 + kx=1200 - 5 \cdot 25 + ( k + 1 ) y$
Требуется найти $S=1200 - 5 \cdot 25 - 25 + kx = 1050 + kx$ из системы уравнений:
$$$\begin{cases} 1000 + nx=1200 \\[6pt] 1000 + ( n + 5 ) y=1200 - 5 \cdot 25 \\[6pt] 1200 - 5 \cdot 25 - 25 + kx=1200 - 5 \cdot 25 + ( k + 1 ) y \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} nx=200 \\[6pt] ( n + 5 ) y=75 \\[6pt] kx=25 + ( k + 1 ) y \end{cases}$$ . \undersetn больше 0\mathop = сильно $$\begin{cases} x= $\frac{200}{n}$ \\[6pt] y= $\frac{75}{n + 5}$ \\[6pt] $\frac{200k}{n}$ - $\frac{75 ( k + 1 )}{n + 5}$ =25. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 1000 + nx=1200 \\[6pt] 1000 + ( n + 5 ) y=1200 - 5 \cdot 25 \\[6pt] 1200 - 5 \cdot 25 - 25 + kx=1200 - 5 \cdot 25 + ( k + 1 ) y \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} nx=200 \\[6pt] ( n + 5 ) y=75 \\[6pt] kx=25 + ( k + 1 ) y \end{cases}$$ . \undersetn больше 0\mathop = сильно$
$\undersetn больше 0\mathop = сильно $$\begin{cases} x= $\frac{200}{n}$ \\[6pt] y= $\frac{75}{n + 5}$ \\[6pt] $\frac{200k}{n}$ - $\frac{75 ( k + 1 )}{n + 5}$ =25. \end{cases}$$$
Преобразуем третье уравнение системы:
$\frac{8k}{n} - $\frac{3 ( k + 1 )}{n + 5}$ =1 \undersetn больше 0\mathop = сильно 8kn + 40k - 3kn - 3n=n ^2 + 5n = сильно$
$ = сильно n ^2 + 8n - 5kn - 40k=0 = сильно ( n + 8 ) ( n - 5k ) =0 \undersetn больше 0\mathop = сильно n=5k$ $\frac{8k}{n} - $\frac{3 ( k + 1 )}{n + 5}$ =1 \undersetn больше 0\mathop = сильно 8kn + 40k - 3kn - 3n=n ^2 + 5n = сильно$
$ = сильно n ^2 + 8n - 5kn - 40k=0 = сильно$
$ = сильно ( n + 8 ) ( n - 5k ) =0 \undersetn больше 0\mathop = сильно n=5k$ $\frac{8k}{n} - $\frac{3 ( k + 1 )}{n + 5}$ =1 \undersetn больше 0\mathop = сильно$
$\undersetn больше 0\mathop = сильно 8kn + 40k - 3kn - 3n=n ^2 + 5n = сильно$
$ = сильно n ^2 + 8n - 5kn - 40k=0 = сильно$
$ = сильно ( n + 8 ) ( n - 5k ) =0 \undersetn больше 0\mathop = сильно n=5k$
Подставив полученное значение n в первое уравнение системы, получаем
$5kx=200 = сильно kx=40$
Тогда искомое значение
$S= 1050 + 40=1090$ тыс. руб.
Ответ: 1 090 000 рублей.
n — число месяцев от момента открытия вклада до марта 2019 года;
x — сумма в тыс. руб., на которую банк увеличивает вклад Всеволода;
k — число месяцев от августа 2019 года до повторного равенства сумм вкладов;
y — сумма в тыс. руб., на которую банк увеличивает вклад Александры.
Тогда выполняются следующие условия:
через n месяцев сумма на счете Всеволода равна 1200 тыс. руб.: $1000 + nx=1200$
через $( n + 5 )$ месяцев, в июле 2019 года, суммы на вкладах равны: $1000 + ( n + 5 ) y=1200 - 5 \cdot 25$
через k месяцев после августа 2019 года суммы повторно равны: $1200 - 5 \cdot 25 - 25 + kx=1200 - 5 \cdot 25 + ( k + 1 ) y$
Требуется найти $S=1200 - 5 \cdot 25 - 25 + kx = 1050 + kx$ из системы уравнений:
$$$\begin{cases} 1000 + nx=1200 \\[6pt] 1000 + ( n + 5 ) y=1200 - 5 \cdot 25 \\[6pt] 1200 - 5 \cdot 25 - 25 + kx=1200 - 5 \cdot 25 + ( k + 1 ) y \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} nx=200 \\[6pt] ( n + 5 ) y=75 \\[6pt] kx=25 + ( k + 1 ) y \end{cases}$$ . \undersetn больше 0\mathop = сильно $$\begin{cases} x= $\frac{200}{n}$ \\[6pt] y= $\frac{75}{n + 5}$ \\[6pt] $\frac{200k}{n}$ - $\frac{75 ( k + 1 )}{n + 5}$ =25. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 1000 + nx=1200 \\[6pt] 1000 + ( n + 5 ) y=1200 - 5 \cdot 25 \\[6pt] 1200 - 5 \cdot 25 - 25 + kx=1200 - 5 \cdot 25 + ( k + 1 ) y \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} nx=200 \\[6pt] ( n + 5 ) y=75 \\[6pt] kx=25 + ( k + 1 ) y \end{cases}$$ . \undersetn больше 0\mathop = сильно$
$\undersetn больше 0\mathop = сильно $$\begin{cases} x= $\frac{200}{n}$ \\[6pt] y= $\frac{75}{n + 5}$ \\[6pt] $\frac{200k}{n}$ - $\frac{75 ( k + 1 )}{n + 5}$ =25. \end{cases}$$$
Преобразуем третье уравнение системы:
$\frac{8k}{n} - $\frac{3 ( k + 1 )}{n + 5}$ =1 \undersetn больше 0\mathop = сильно 8kn + 40k - 3kn - 3n=n ^2 + 5n = сильно$
$ = сильно n ^2 + 8n - 5kn - 40k=0 = сильно ( n + 8 ) ( n - 5k ) =0 \undersetn больше 0\mathop = сильно n=5k$ $\frac{8k}{n} - $\frac{3 ( k + 1 )}{n + 5}$ =1 \undersetn больше 0\mathop = сильно 8kn + 40k - 3kn - 3n=n ^2 + 5n = сильно$
$ = сильно n ^2 + 8n - 5kn - 40k=0 = сильно$
$ = сильно ( n + 8 ) ( n - 5k ) =0 \undersetn больше 0\mathop = сильно n=5k$ $\frac{8k}{n} - $\frac{3 ( k + 1 )}{n + 5}$ =1 \undersetn больше 0\mathop = сильно$
$\undersetn больше 0\mathop = сильно 8kn + 40k - 3kn - 3n=n ^2 + 5n = сильно$
$ = сильно n ^2 + 8n - 5kn - 40k=0 = сильно$
$ = сильно ( n + 8 ) ( n - 5k ) =0 \undersetn больше 0\mathop = сильно n=5k$
Подставив полученное значение n в первое уравнение системы, получаем
$5kx=200 = сильно kx=40$
Тогда искомое значение
$S= 1050 + 40=1090$ тыс. руб.
Ответ: 1 090 000 рублей.
Правильный ответ:
1 090 000 рублей
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67383 • Задание №13
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 24 умн...
ID 71657 • Задание №19
Снеговик написал ряд натуральных чисел от 1 до 2025. Затем он зачеркнул каждое второе число, начиная слева, а ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:
– неверный ответ из-за вычислительной ошибки;
– верный ответ, но решение недостаточно обосновано | 2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:
– неверный ответ из-за вычислительной ошибки;
– верный ответ, но решение недостаточно обосновано | 2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...