Приравняем правые части уравнений исходной системы:

$x ^2 + 2x + 5= ( 2x + 8 - 2y ) y - 5 = сильно x ^2 + 2 ( 1 - y ) x + 2y ^2 - 8y + 10=0$

Полученное уравнение является квадратным относительно переменной x. Найдем одну четвертую дискриминанта:

$\frac{D}{4} = ( 1 - y ) ^2 - ( 2y ^2 - 8y + 10 ) = - y ^2 + 6y - 9= - ( y - 3 ) ^2$

Дискриминант неотрицателен только при $y=3$ а значит, единственным корнем уравнения является $x= - $\frac{b}{2a}$ =2$ Тогда исходная система или имеет единственное решение $( 2;3 )$ или не имеет решений.
Из первого уравнения исходной системы найдём значение a, при котором у системы есть решение:

$a=2 ^2 + 2 \cdot 2 + 5=13$

Ответ: $a=13$