Заметим, что

$\frac{2a - x ^2 - 3x}{x + a ^2} =0 = сильно $$\begin{cases} 2a - x ^2 - 3x=0 \\[6pt] x + a ^2 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= $\frac{x ^2 + 3x}{2}$ \\[6pt] x не = - a ^2 . \end{cases}$$$

[рис.]
Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.
Ординаты точек пересечения парабол $a= \frac{x ^2 + 3x}{2}$ и $x= - a ^2$ найдём из уравнения $a= \frac{a в степени 4 - 3a ^2}{2}$

$a в степени 4 - 3a ^2 - 2a=0$
$a ( a ^3 - 3a - 2 ) =0$
$a ( a + 1 ) ( a ^2 - a - 2 ) =0$
$a ( a + 1 ) ^2 ( a - 2 ) =0$

Получаем $a= - 1$ или $a=0$ или $a=2$
Вершина параболы $a= \frac{x ^2 + 3x}{2}$ в точке $( - $\frac{3}{2}$ ; - $\frac{9}{8}$ )$
Ровно два решения исходное уравнение имеет при $ - $\frac{9}{8}$ меньше a меньше - 1$ $ - 1 меньше a меньше 0$ $0 меньше a меньше 2$ $a больше 2$

Ответ: $a принадлежит ( - $\frac{9}{8}$ ; - 1 ) \cup ( - 1;0 ) \cup ( 0;2 ) \cup ( 2; + бесконечность )$