Сделаем замену $t= \cos x$ и найдём корни уравнения

$t ^2 - a ^2 t + ( a ^2 - a + $\frac{1}{2}$ ) ( a - $\frac{1}{2}$ ) =0$      (*)
[рис.]
по теореме, обратной теореме Виета:

$\left[ \begin{array}{l} t=a - $\frac{1}{2}$ ,t=a ^2 - a + $\frac{1}{2}$ . \end{array} \right.$

Заметим, что если $\frac{1}{2} меньше t меньше 1$ то каждому такому t соответствует два корня исходного уравнения, если же $t=1$ или $0 меньше или = t меньше или = \frac{1}{2}$ то такому t будет соответствовать один корень исходного уравнения. Прочим t не соответствует ни одного корня.
В системе координат aOt графиком уравнения (*) является объединение прямой $t=a - \frac{1}{2}$ и параболы $t=a ^2 - a + \frac{1}{2}$ [рис.] Заметим, что прямая является касательной к параболе в точке $a=1$ (это следует из того, что уравнение $a ^2 - a + $\frac{1}{2}$ = a - \frac{1}{2}$ имеет единственное решение).
Требуется найти такие a, при которых уравнение $( * )$ имеет ровно один корень на $[ 0; $\frac{1}{2}$ ] \cup \{ 1 \}$ и при этом не имеет корней на $( $\frac{1}{2}$ ;1 )$ Это выполняется при $a=a_1,0 меньше или = a меньше a_2, a=1,a=a_3$ Найдём значения $a_1,a_2и a_3$
Значение $a_1$ является меньшим корнем уравнения $a ^2 - a + $\frac{1}{2}$ =1$ получаем: $a_1= \frac{1 - $\sqrt{3}$}{2}$ Значение $a_2$ является корнем уравнения $a - $\frac{1}{2}$ =0$ получаем: $a_2= \frac{1}{2}$ Значение $a_3$ является корнем уравнения $a - $\frac{1}{2}$ =1$ получаем: $a_3= \frac{3}{2}$
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на промежутке $( - $\frac{\pi}{3}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ]$ при $a= \frac{1 - $\sqrt{3}$}{2} , 0 меньше или = a меньше $\frac{1}{2}$ ,a=1,a= \frac{3}{2}$

Ответ: $[ 0; $\frac{1}{2}$ ) \cup \{ \frac{1 - $\sqrt{3}$}{2} ,1, $\frac{3}{2}$ \}$