Запишем функцию в виде $y= \frac{5a + 10 ( 15 - a ) x}{( 10x + a ) ^2 + 25}$ Если при некоторых значениях а существуют такие числа x0, x1, что выполняются равенства $0= \frac{5a + 10 ( 15 - a ) x_0}{( 10x_0 + a ) ^2 + 25}$ и $1= \frac{5a + 10 ( 15 - a ) x_1}{( 10x_1 + a ) ^2 + 25}$ то отрезок [0; 1] будет принадлежать множеству значений данной функции.
Первое уравнение:

$0= $\frac{5a + 10 ( 15 - a ) x}{( 10x + a ) ^2 + 25}$ = сильно 10 ( a - 15 ) x=5a$

Уравнение имеет решение при любом $a не = 15$
Второе уравнение:

$1= $\frac{5a + 10 ( 15 - a ) x}{( 10x + a ) ^2 + 25}$ = сильно 100x ^2 + 30 ( a - 5 ) x + a ^2 - 5a + 25=0$

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

$D=900 ( a - 5 ) ^2 - 400 ( a ^2 - 5a + 25 ) \geqslant0 = сильно 500 ( a ^2 - 14a + 25 ) \geqslant0 = сильно$
$ = сильно ( a - 7 + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ) ( a - 7 - 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ) \geqslant0$

Решением этого неравенства является множество $( - бесконечность ;7 - 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ]$ $[ 7 + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ; + бесконечность )$
Следовательно, условию задачи удовлетворяют только все значения

$a принадлежит ( - бесконечность ;7 - 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ] \cup [ 7 + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ;15 ) \cup ( 15; + бесконечность )$

Ответ: $( - бесконечность ;7 - 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ] \cup [ 7 + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента ;15 ) \cup ( 15; + бесконечность )$