[рис.] ОДЗ уравнения $x больше или = 2$ Рассмотрим функцию $f ( x ) =2 $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента + $\sqrt{3}$ $\sqrt{аргумента: x - 2}$ аргумента :$ она возрастающая (как сумма двух возрастающих функций), ее наименьшее значение $f ( 2 ) =2$
Обозначим $g ( x ) =ax + 2$ тогда уравнение записывается в виде $f ( x ) =g ( x )$ На ОДЗ при $a меньше 0$ справедливо неравенство $g ( x ) меньше 2$ а значит, уравнение не имеет решений.
При $a=0$ левая часть уравнения $f ( x ) =g ( x )$ возрастает, а правая постоянна, значит, уравнение имеет не более одного корня. Проверка показывает, что $x=2$ является корнем уравнения.
Пусть $a больше 0$ Функция f выпукла вверх (как сумма двух выпуклых вверх функций), поэтому ее график лежит не выше касательной и имеет с секущей прямой не более двух общих точек. Следовательно, при $a больше 0$ уравнение имеет не более двух корней. Поскольку $f ( 2 ) меньше g ( 2 )$ один корень может быть только в случае, когда прямая касается кривой.
Рассмотрим два вектора $\vecm ( 2; $\sqrt{аргумента: x - 2}$ аргумента )$ и $\vecn ( $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента ; $\sqrt{3}$ )$ Отметим, что $|\vecm|=|\vecn|= $\sqrt{аргумента: x + 2}$ аргумента$ и тогда

$f ( x ) =2 $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента + $\sqrt{3}$ $\sqrt{аргумента: x - 2}$ аргумента =\vecm \cdot \vecn меньше или = |\vecm| \cdot |\vecn|=x + 2$

Равенство достигается, только если вектор $\vecm$ сонаправлен с вектором $\vecn$ то есть при

$\frac{2}{$\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: x - 2}$ аргумента}{$\sqrt{3}$} = сильно $$\begin{cases} x больше или = 2 \\[6pt] $\sqrt{аргумента: x - 2}$ аргумента $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента = 2 $\sqrt{3}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше или = 2 \\[6pt] x ^2 - 3x + 2 = 12 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше или = 2 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x = - 2 \\[6pt] x = 5 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно x=5$

Итак, $f ( x ) = x + 2$ при $x = 5$ и $f ( x ) меньше x + 2$ при прочих х. Тем самым прямая $y = x + 2$ соответствующая значению параметра $a=1$ является касательной к графику функции f.
При $a больше 1$ получаем, что $g ( x ) =ax + 2= ( a - 1 ) x + x + 2 больше x + 2$ значит, уравнение $f ( x ) =g ( x )$ не имеет корней. При при $0 меньше a меньше 1$ уравнение имеет два корня.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень при $a=0$ или $a=1$