Преобразуем уравнение:

$ax в степени 4 - 2x ^3 + ( a ^3 - a ) x ^2 - ( 2a ^2 - 2 ) x = - ax ^3 + 2x ^2 - ( a ^3 - a ) x + 2a ^2 - 2 = сильно$
$ = сильно x ( ax ^3 - 2x ^2 + ( a ^3 - a ) x - 2a ^2 + 2 ) + ( ax ^3 - 2x ^2 + ( a ^3 - a ) x - 2a ^2 + 2 ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( ax ^3 - 2x ^2 + ( a ^3 - a ) x - 2a ^2 + 2 ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( x ^2 ( ax - 2 ) + ax ( a ^2 - 1 ) - 2 ( a ^2 - 1 ) ) = 0 = сильно ( x + 1 ) ( x ^2 ( ax - 2 ) + ( a ^2 - 1 ) ( ax - 2 ) ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( ax - 2 ) ( x ^2 + a ^2 - 1 ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0, ax - 2 = 0, x ^2 + a ^2 - 1 = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - 1, a = $\frac{2}{x}$ , x ^2 + a ^2 = 1. \end{array} \right.$ $ax в степени 4 - 2x ^3 + ( a ^3 - a ) x ^2 - ( 2a ^2 - 2 ) x = - ax ^3 + 2x ^2 - ( a ^3 - a ) x + 2a ^2 - 2 = сильно$
$ = сильно x ( ax ^3 - 2x ^2 + ( a ^3 - a ) x - 2a ^2 + 2 ) + ( ax ^3 - 2x ^2 + ( a ^3 - a ) x - 2a ^2 + 2 ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( ax ^3 - 2x ^2 + ( a ^3 - a ) x - 2a ^2 + 2 ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( x ^2 ( ax - 2 ) + ax ( a ^2 - 1 ) - 2 ( a ^2 - 1 ) ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( x ^2 ( ax - 2 ) + ( a ^2 - 1 ) ( ax - 2 ) ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( ax - 2 ) ( x ^2 + a ^2 - 1 ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0, ax - 2 = 0, x ^2 + a ^2 - 1 = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - 1, a = $\frac{2}{x}$ , x ^2 + a ^2 = 1. \end{array} \right.$ $ax в степени 4 - 2x ^3 + ( a ^3 - a ) x ^2 - ( 2a ^2 - 2 ) x = - ax ^3 + 2x ^2 - ( a ^3 - a ) x + 2a ^2 - 2 = сильно$
$ = сильно x ( ax ^3 - 2x ^2 + ( a ^3 - a ) x - 2a ^2 + 2 ) + ( ax ^3 - 2x ^2 + ( a ^3 - a ) x - 2a ^2 + 2 ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( ax ^3 - 2x ^2 + ( a ^3 - a ) x - 2a ^2 + 2 ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( x ^2 ( ax - 2 ) + ax ( a ^2 - 1 ) - 2 ( a ^2 - 1 ) ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( x ^2 ( ax - 2 ) + ( a ^2 - 1 ) ( ax - 2 ) ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x + 1 ) ( ax - 2 ) ( x ^2 + a ^2 - 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0, ax - 2 = 0, x ^2 + a ^2 - 1 = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - 1, a = $\frac{2}{x}$ , x ^2 + a ^2 = 1. \end{array} \right.$

[рис.]
Исходное уравнение в системе координат xOa задает вертикальную прямую $x = - 1$ гиперболу $a = \frac{2}{x}$ ветви которой лежат в 1 и 3 четвертях, и окружность $x ^2 + a ^2 = 1$ с центром в точке с координатами $( 0; 0 )$ и радиусом 1. Найдем точку пересечения вертикальной прямой и гиперболы: $a = \frac{2}{ - 1}$ то есть $a = - 2$ Найдем точку пересечения вертикальной прямой и окружности: $( - 1 ) ^2 + a ^2 = 1$ то есть $a ^2 = 0$ откуда $a = 0$ Изобразим получившиеся множества.
Из рисунка видно, что при $a меньше - 2$ горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы и вертикальную прямую; при $a = - 2$ горизонтальная прямая проходит через точку пересечения гиперболы и вертикальной прямой; при $ - 2 меньше a меньше - 1$ горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы и вертикальную прямую; при $a = - 1$ горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и касается окружности; при $ - 1 меньше a меньше 0$ горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; прямая $a = 0$ является асимптотой гиперболы, но проходит через точку пересечения вертикальной прямой и окружности и еще одну точку на окружности; при $0 меньше a меньше 1$ горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; при $a = 1$ горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и касается окружности; при $a больше 1$ горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы и вертикальную прямую. Случай единственного решения обозначен на рисунке красным, случаи двух решений  — синим, случаи трех решений  — зеленым, случаи четырех решений  — фиолетовым.
Таким образом, уравнение имеет два решения при $a принадлежит ( - бесконечность ; - 2 ) \cup ( - 2; - 1 ) \cup \{ 0 \} \cup ( 1; + бесконечность )$

Ответ: $a принадлежит ( - бесконечность ; - 2 ) \cup ( - 2; - 1 ) \cup \{ 0 \} \cup ( 1; + бесконечность )$