Построим график функции $g ( x ) =| |x| - 2| - 2$ (см. рис.) и определим, при каких значениях параметра он имеет ровно две точки пересечения с пучком прямых $y=a ( x - 8 )$ имеющих угловой коэффициент а и проходящих через точку (8; 0).
Прямая (1) с угловым коэффициентом $\frac{1}{3}$ пересекает график функции в одной точке, а прямая (3) с угловым коэффициентом $\frac{1}{5}$   — в трех точках. Прямые (2) с угловыми коэффициентами $\frac{1}{5} меньше a меньше \frac{1}{3}$ пересекают график функции g в двух точках. Аналогично прямая (5) с угловым коэффициентом 0 пересекает график функции в трех точках, а прямая (7) с угловым коэффициентом −1  — в одной точке. Две точки имеют с графиком данной функции прямые (6), имеющие угловые коэффициенты которых $ - 1 меньше a меньше 0$
[рис.]

Ответ: $( - 1;0 ) \cup ( $\frac{1}{5}$ ; $\frac{1}{3}$ )$

Приведем аналитическое решение.
Задачу переформулируем так: «Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $\left| |x| - 2 | - ax + 8a=2$ имеет два различных корня».
1.  Пусть $x больше или = 0$ тогда $|x|=x$ и уравнение примет вид: $\left| x - 2 | - ax + 8a=2$
а)   $0 меньше или = x меньше 2$ в таком случае $|x - 2|=2 - x$

$2 - x - ax + 8a=2 = сильно ( 1 + a ) x=8a = сильно x= \frac{8a}{a + 1}$

Найдем значения а, удовлетворяющие условию $0 меньше или = x меньше 2$

$$$\begin{cases} новая строка $\frac{8a}{a + 1}$ меньше 2 \\[6pt] новая строка $\frac{8a}{a + 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{4a}{a + 1}$ - 1 меньше 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a + 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{4a - a - 1}{a + 1}$ меньше 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a + 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{3a - 1}{a + 1}$ меньше 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a + 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка - 1 меньше a меньше $\frac{1}{3}$ новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка a меньше - 1 \\[6pt] новая строка a\geqslant0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно 0 меньше или = a меньше \frac{1}{3}$ $$$\begin{cases} новая строка $\frac{8a}{a + 1}$ меньше 2 \\[6pt] новая строка $\frac{8a}{a + 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{4a}{a + 1}$ - 1 меньше 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a + 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{4a - a - 1}{a + 1}$ меньше 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a + 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{3a - 1}{a + 1}$ меньше 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a + 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка - 1 меньше a меньше $\frac{1}{3}$ новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка a меньше - 1 \\[6pt] новая строка a\geqslant0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно 0 меньше или = a меньше \frac{1}{3}$

б)   $x больше или = 2$ Тогда $|x - 2|=x - 2$

$x - 2 - ax + 8a=2 = сильно ( a - 1 ) x=8a - 4 = сильно x= \frac{8a - 4}{a - 1}$

Найдем значения а, удовлетворяющие условию $x больше или = 2$

$\frac{8a - 4}{a - 1} больше или = 2 = сильно $\frac{4a - 2}{a - 1}$ - 1 больше или = 0 = сильно $\frac{4a - 2 - a + 1}{a - 1}$ больше или = 0 = сильно $\frac{3a - 1}{a - 1}$ больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a меньше или = $\frac{1}{3}$ , новая строка a больше 1. \end{array} \right.$ $\frac{8a - 4}{a - 1} больше или = 2 = сильно $\frac{4a - 2}{a - 1}$ - 1 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{4a - 2 - a + 1}{a - 1}$ больше или = 0 = сильно $\frac{3a - 1}{a - 1}$ больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a меньше или = $\frac{1}{3}$ , новая строка a больше 1. \end{array} \right.$

2.  Пусть $x меньше 0$ тогда $|x|= - x$ и уравнение примет вид: $\left| - x - 2 | - ax + 8a=2 = сильно \left| x + 2 | - ax + 8a=2$
а)   $x меньше - 2$ тогда $|x + 2|= - x - 2$

$ - x - 2 - ax + 8a=2 = сильно ( a + 1 ) x=8a - 4 = сильно x= \frac{8a - 4}{a + 1}$

Найдем значения а, удовлетворяющие условию $x меньше - 2$

$\frac{8a - 4}{a + 1} меньше - 2 = сильно $\frac{4a - 2}{a + 1}$ + 1 меньше 0 = сильно $\frac{4a - 2 + a + 1}{a + 1}$ меньше 0 = сильно $\frac{5a - 1}{a + 1}$ меньше 0 = сильно - 1 меньше a меньше \frac{1}{5}$ $\frac{8a - 4}{a + 1} меньше - 2 = сильно $\frac{4a - 2}{a + 1}$ + 1 меньше 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{4a - 2 + a + 1}{a + 1}$ меньше 0 = сильно $\frac{5a - 1}{a + 1}$ меньше 0 = сильно - 1 меньше a меньше \frac{1}{5}$ $\frac{8a - 4}{a + 1} меньше - 2 = сильно $\frac{4a - 2}{a + 1}$ + 1 меньше 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{4a - 2 + a + 1}{a + 1}$ меньше 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{5a - 1}{a + 1}$ меньше 0 = сильно - 1 меньше a меньше \frac{1}{5}$

б)   $ - 2 меньше или = x меньше 0$ тогда $|x + 2|=x + 2$

$x + 2 - ax + 8a=2 = сильно ( a - 1 ) x=8a = сильно x= \frac{8a}{a - 1}$

Найдем значения а, удовлетворяющие неравенству $ - 2 меньше или = x меньше 0$

$$$\begin{cases} новая строка $\frac{8a}{a - 1}$ больше или = - 2 \\[6pt] новая строка $\frac{8a}{a - 1}$ меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{4a}{a - 1}$ + 1 больше или = 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a - 1}$ меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{4a + a - 1}{a - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a - 1}$ меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{5a - 1}{a - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a - 1}$ меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка a больше 1 \\[6pt] новая строка a меньше или = $\frac{1}{5}$ \end{cases}$$ . новая строка 0 меньше a меньше 1 \end{array} \right. . = сильно 0 меньше a меньше или = \frac{1}{5}$ $$$\begin{cases} новая строка $\frac{8a}{a - 1}$ больше или = - 2 \\[6pt] новая строка $\frac{8a}{a - 1}$ меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{4a}{a - 1}$ + 1 больше или = 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a - 1}$ меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{4a + a - 1}{a - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a - 1}$ меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{5a - 1}{a - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] новая строка $\frac{a}{a - 1}$ меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка a больше 1 \\[6pt] новая строка a меньше или = $\frac{1}{5}$ \end{cases}$$ . новая строка 0 меньше a меньше 1 \end{array} \right. . = сильно 0 меньше a меньше или = \frac{1}{5}$

На каждом этапе решения мы получали ровно по одному корню. Количество решений уравнения $\left| |x| - 2 | - ax + 8a=2$ в зависимости от значений а увидим из следующей таблицы:

| $a меньше - 1$ | $a= - 1$ | $ - 1 меньше a меньше 0$ | $a=0$ | $0 меньше a меньше \frac{1}{5}$ | $a= \frac{1}{5}$ | $\frac{1}{5} меньше a меньше \frac{1}{3}$ | $a= \frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3} меньше a меньше 1$ | $a=1$ | $a больше 1$

2а)
$x меньше - 2$ | | | один корень | один корень | один корень | | | | | |

2б)
$ - 2 меньше или = x меньше 0$ | | | | | один корень | один корень | | | | |

1а)
$0 меньше или = x меньше 2$ | | | | один корень | один корень | один корень | один корень | | | |

1б)
$x\geqslant2$ | один корень | один корень | один корень | один корень | один корень | один корень | один корень | один корень | | | один корень

Всего корней: | один корень | один корень | два корня | три корня | четыре корня | три корня | два корня | один корень | | | один корень